Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppccofval Unicode version

Theorem oppccofval 13619
 Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcco.b
oppcco.c comp
oppcco.o oppCat
oppcco.x
oppcco.y
oppcco.z
Assertion
Ref Expression
oppccofval comp tpos

Proof of Theorem oppccofval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcco.x . . . . . 6
2 elfvex 5555 . . . . . . 7
3 oppcco.b . . . . . . 7
42, 3eleq2s 2375 . . . . . 6
51, 4syl 15 . . . . 5
6 eqid 2283 . . . . . 6
7 oppcco.c . . . . . 6 comp
8 oppcco.o . . . . . 6 oppCat
93, 6, 7, 8oppcval 13616 . . . . 5 sSet tpos sSet comp tpos
105, 9syl 15 . . . 4 sSet tpos sSet comp tpos
1110fveq2d 5529 . . 3 comp comp sSet tpos sSet comp tpos
12 ovex 5883 . . . 4 sSet tpos
13 fvex 5539 . . . . . . 7
143, 13eqeltri 2353 . . . . . 6
1514, 14xpex 4801 . . . . 5
1615, 14mpt2ex 6198 . . . 4 tpos
17 df-cco 13233 . . . . . 6 comp Slot ;
18 1nn0 9981 . . . . . . 7
19 5nn 9880 . . . . . . 7
2018, 19decnncl 10137 . . . . . 6 ;
2117, 20ndxid 13169 . . . . 5 comp Slot comp
2221setsid 13187 . . . 4 sSet tpos tpos tpos comp sSet tpos sSet comp tpos
2312, 16, 22mp2an 653 . . 3 tpos comp sSet tpos sSet comp tpos
2411, 23syl6eqr 2333 . 2 comp tpos
25 simprr 733 . . . . 5
26 simprl 732 . . . . . . 7
2726fveq2d 5529 . . . . . 6
281adantr 451 . . . . . . 7
29 oppcco.y . . . . . . . 8
3029adantr 451 . . . . . . 7
31 op2ndg 6133 . . . . . . 7
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . . 6
3327, 32eqtrd 2315 . . . . 5
3425, 33opeq12d 3804 . . . 4
3526fveq2d 5529 . . . . 5
36 op1stg 6132 . . . . . 6
3728, 30, 36syl2anc 642 . . . . 5
3835, 37eqtrd 2315 . . . 4
3934, 38oveq12d 5876 . . 3
40 tposeq 6236 . . 3 tpos tpos
4139, 40syl 15 . 2 tpos tpos
42 opelxpi 4721 . . 3
431, 29, 42syl2anc 642 . 2
44 oppcco.z . 2
45 ovex 5883 . . . 4
4645tposex 6268 . . 3 tpos
4746a1i 10 . 2 tpos
4824, 41, 43, 44, 47ovmpt2d 5975 1 comp tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  cop 3643   cxp 4687  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  tpos ctpos 6233  c1 8738  c5 9798  ;cdc 10124  cnx 13145   sSet csts 13146  cbs 13148   chom 13219  compcco 13220  oppCatcoppc 13614 This theorem is referenced by:  oppcco  13620 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-sets 13154  df-cco 13233  df-oppc 13615
 Copyright terms: Public domain W3C validator