MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcepi Unicode version

Theorem oppcepi 13642
Description: An epimorphism in the opposite category is a monomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcmon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcmon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcepi.e  |-  E  =  (Epi `  O )
oppcepi.m  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
oppcepi  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )

Proof of Theorem oppcepi
StepHypRef Expression
1 oppcepi.m . . . 4  |-  M  =  (Mono `  C )
2 oppcmon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 13627 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
)
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
) )
522oppccomf 13628 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcmon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 13625 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 13625 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12monpropd 13640 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  (oppCat `  O
) ) )
141, 13syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (Mono `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveqd 5875 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y M X )  =  ( Y (Mono `  (oppCat `  O
) ) X ) )
16 eqid 2283 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  O ) )  =  (Mono `  (oppCat `  O ) )
17 oppcepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  O )
1810, 9, 16, 17oppcmon 13641 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  O ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1915, 18eqtr2d 2316 1  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Catccat 13566    Homf chomf 13568  compfccomf 13569  oppCatcoppc 13614  Monocmon 13631  Epicepi 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-homf 13572  df-comf 13573  df-oppc 13615  df-mon 13633  df-epi 13634
  Copyright terms: Public domain W3C validator