MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcepi Unicode version

Theorem oppcepi 13920
Description: An epimorphism in the opposite category is a monomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcmon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcmon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcepi.e  |-  E  =  (Epi `  O )
oppcepi.m  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
oppcepi  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )

Proof of Theorem oppcepi
StepHypRef Expression
1 oppcepi.m . . . 4  |-  M  =  (Mono `  C )
2 oppcmon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 13905 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
)
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
) )
522oppccomf 13906 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcmon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 13903 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 13903 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12monpropd 13918 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  (oppCat `  O
) ) )
141, 13syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (Mono `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveqd 6057 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y M X )  =  ( Y (Mono `  (oppCat `  O
) ) X ) )
16 eqid 2404 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  O ) )  =  (Mono `  (oppCat `  O ) )
17 oppcepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  O )
1810, 9, 16, 17oppcmon 13919 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  O ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1915, 18eqtr2d 2437 1  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Catccat 13844    Homf chomf 13846  compfccomf 13847  oppCatcoppc 13892  Monocmon 13909  Epicepi 13910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-hom 13508  df-cco 13509  df-cat 13848  df-cid 13849  df-homf 13850  df-comf 13851  df-oppc 13893  df-mon 13911  df-epi 13912
  Copyright terms: Public domain W3C validator