MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcepi Unicode version

Theorem oppcepi 13741
Description: An epimorphism in the opposite category is a monomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcmon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcmon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcepi.e  |-  E  =  (Epi `  O )
oppcepi.m  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
oppcepi  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )

Proof of Theorem oppcepi
StepHypRef Expression
1 oppcepi.m . . . 4  |-  M  =  (Mono `  C )
2 oppcmon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 13726 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
)
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
) )
522oppccomf 13727 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcmon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 13724 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 13724 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12monpropd 13739 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  (oppCat `  O
) ) )
141, 13syl5eq 2402 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (Mono `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveqd 5962 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y M X )  =  ( Y (Mono `  (oppCat `  O
) ) X ) )
16 eqid 2358 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  O ) )  =  (Mono `  (oppCat `  O ) )
17 oppcepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  O )
1810, 9, 16, 17oppcmon 13740 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  O ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1915, 18eqtr2d 2391 1  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Catccat 13665    Homf chomf 13667  compfccomf 13668  oppCatcoppc 13713  Monocmon 13730  Epicepi 13731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-hom 13329  df-cco 13330  df-cat 13669  df-cid 13670  df-homf 13671  df-comf 13672  df-oppc 13714  df-mon 13732  df-epi 13733
  Copyright terms: Public domain W3C validator