Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Unicode version

Theorem oppchomfval 13932
 Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h
oppchom.o oppCat
Assertion
Ref Expression
oppchomfval tpos

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 13635 . . . 4 Slot
2 1nn0 10229 . . . . . . . 8
3 4nn 10127 . . . . . . . 8
42, 3decnncl 10387 . . . . . . 7 ;
54nnrei 10001 . . . . . 6 ;
6 4nn0 10232 . . . . . . 7
7 5nn 10128 . . . . . . 7
8 4lt5 10140 . . . . . . 7
92, 6, 7, 8declt 10395 . . . . . 6 ; ;
105, 9ltneii 9178 . . . . 5 ; ;
11 homndx 13634 . . . . . 6 ;
12 ccondx 13636 . . . . . 6 comp ;
1311, 12neeq12i 2610 . . . . 5 comp ; ;
1410, 13mpbir 201 . . . 4 comp
151, 14setsnid 13501 . . 3 sSet tpos sSet tpos sSet comp tpos comp
16 oppchom.h . . . . . 6
17 fvex 5734 . . . . . 6
1816, 17eqeltri 2505 . . . . 5
1918tposex 6505 . . . 4 tpos
201setsid 13500 . . . 4 tpos tpos sSet tpos
2119, 20mpan2 653 . . 3 tpos sSet tpos
22 eqid 2435 . . . . 5
23 eqid 2435 . . . . 5 comp comp
24 oppchom.o . . . . 5 oppCat
2522, 16, 23, 24oppcval 13931 . . . 4 sSet tpos sSet comp tpos comp
2625fveq2d 5724 . . 3 sSet tpos sSet comp tpos comp
2715, 21, 263eqtr4a 2493 . 2 tpos
28 tpos0 6501 . . 3 tpos
29 fvprc 5714 . . . . 5
3016, 29syl5eq 2479 . . . 4
3130tposeqd 6474 . . 3 tpos tpos
32 fvprc 5714 . . . . . 6 oppCat
3324, 32syl5eq 2479 . . . . 5
3433fveq2d 5724 . . . 4
35 df-hom 13545 . . . . 5 Slot ;
3635str0 13497 . . . 4
3734, 36syl6eqr 2485 . . 3
3828, 31, 373eqtr4a 2493 . 2 tpos
3927, 38pm2.61i 158 1 tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948  c0 3620  cop 3809   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  tpos ctpos 6470  c1 8983  c4 10043  c5 10044  ;cdc 10374  cnx 13458   sSet csts 13459  cbs 13461   chom 13532  compcco 13533  oppCatcoppc 13929 This theorem is referenced by:  oppchom  13933 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-dec 10375  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-sets 13467  df-hom 13545  df-cco 13546  df-oppc 13930
 Copyright terms: Public domain W3C validator