MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Unicode version

Theorem oppciso 13728
Description: An isomorphism in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcsect.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcsect.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppciso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
oppciso.t  |-  J  =  (  Iso  `  O
)
Assertion
Ref Expression
oppciso  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  ( Y I X ) )

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 oppcsect.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
3 oppcsect.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 oppcsect.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 oppcsect.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 eqid 2316 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
7 eqid 2316 . . . 4  |-  (Inv `  O )  =  (Inv
`  O )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 13727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  O ) Y )  =  ( Y (Inv
`  C ) X ) )
98dmeqd 4918 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  O ) Y )  =  dom  ( Y (Inv `  C ) X ) )
102, 1oppcbas 13670 . . 3  |-  B  =  ( Base `  O
)
112oppccat 13674 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
123, 11syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
13 oppciso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  O
)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 13716 . 2  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  dom  ( X (Inv `  O ) Y ) )
15 oppciso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 13716 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y I X )  =  dom  ( Y (Inv `  C ) X ) )
179, 14, 163eqtr4d 2358 1  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  ( Y I X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   dom cdm 4726   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   Catccat 13615  oppCatcoppc 13663  Invcinv 13697    Iso ciso 13698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-hom 13279  df-cco 13280  df-cat 13619  df-cid 13620  df-oppc 13664  df-sect 13699  df-inv 13700  df-iso 13701
  Copyright terms: Public domain W3C validator