MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcsect2 Unicode version

Theorem oppcsect2 13677
Description: A section in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcsect.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcsect.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppcsect.s  |-  S  =  (Sect `  C )
oppcsect.t  |-  T  =  (Sect `  O )
Assertion
Ref Expression
oppcsect2  |-  ( ph  ->  ( X T Y )  =  `' ( X S Y ) )

Proof of Theorem oppcsect2
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcsect.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 oppcsect.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 13621 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  O
)
4 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  O )  =  (  Hom  `  O )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  (comp `  O )  =  (comp `  O )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  O )  =  ( Id `  O
)
7 oppcsect.t . . . 4  |-  T  =  (Sect `  O )
8 oppcsect.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
91oppccat 13625 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
11 oppcsect.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 oppcsect.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
133, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12sectss 13655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X T Y )  C_  ( ( X (  Hom  `  O
) Y )  X.  ( Y (  Hom  `  O ) X ) ) )
14 relxp 4794 . . 3  |-  Rel  (
( X (  Hom  `  O ) Y )  X.  ( Y (  Hom  `  O ) X ) )
15 relss 4775 . . 3  |-  ( ( X T Y ) 
C_  ( ( X (  Hom  `  O
) Y )  X.  ( Y (  Hom  `  O ) X ) )  ->  ( Rel  ( ( X (  Hom  `  O ) Y )  X.  ( Y (  Hom  `  O
) X ) )  ->  Rel  ( X T Y ) ) )
1613, 14, 15ee10 1366 . 2  |-  ( ph  ->  Rel  ( X T Y ) )
17 relcnv 5051 . . 3  |-  Rel  `' ( X S Y )
1817a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  Rel  `' ( X S Y ) )
19 oppcsect.s . . . 4  |-  S  =  (Sect `  C )
202, 1, 8, 11, 12, 19, 7oppcsect 13676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f ( X T Y ) g  <-> 
g ( X S Y ) f ) )
21 vex 2791 . . . 4  |-  f  e. 
_V
22 vex 2791 . . . 4  |-  g  e. 
_V
2321, 22brcnv 4864 . . 3  |-  ( f `' ( X S Y ) g  <->  g ( X S Y ) f )
2420, 23syl6bbr 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( f ( X T Y ) g  <-> 
f `' ( X S Y ) g ) )
2516, 18, 24eqbrrdv 4784 1  |-  ( ph  ->  ( X T Y )  =  `' ( X S Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567  oppCatcoppc 13614  Sectcsect 13647
This theorem is referenced by:  oppcinv  13678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-oppc 13615  df-sect 13650
  Copyright terms: Public domain W3C validator