MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Unicode version

Theorem oppcyon 14059
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcyon.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oppcyon.m  |-  M  =  (HomF
`  C )
oppcyon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
oppcyon  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4  |-  M  =  (HomF
`  C )
2 oppcyon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 13643 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
)
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
) )
522oppccomf 13644 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcyon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 13641 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 13641 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12hofpropd 14057 . . . 4  |-  ( ph  ->  (HomF
`  C )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
) )
141, 13syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (HomF `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  M )  =  (
<. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  (HomF
`  (oppCat `  O )
) ) )
16 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  O )  =  (  Homf 
`  O ) )
17 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  O )  =  (compf `  O ) )
18 eqid 2296 . . . 4  |-  ( SetCat ` 
ran  (  Homf  `  C ) )  =  ( SetCat ` 
ran  (  Homf  `  C ) )
19 fvex 5555 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  e.  _V
2019rnex 4958 . . . . 5  |-  ran  (  Homf  `  C )  e.  _V
2120a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  Homf  `  C )  e.  _V )
22 ssid 3210 . . . . 5  |-  ran  (  Homf  `  C )  C_  ran  (  Homf 
`  C )
2322a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  Homf  `  C ) 
C_  ran  (  Homf  `  C
) )
241, 2, 18, 7, 21, 23hofcl 14049 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( O  X.c  C )  Func  ( SetCat `
 ran  (  Homf  `  C
) ) ) )
2516, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 24curfpropd 14023 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  C >. curryF  M
)  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  M ) )
26 oppcyon.y . . 3  |-  Y  =  (Yon `  O )
27 eqid 2296 . . 3  |-  (HomF `  (oppCat `  O ) )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
)
2826, 9, 10, 27yonval 14051 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  (HomF `  (oppCat `  O )
) ) )
2915, 25, 283eqtr4rd 2339 1  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Catccat 13582    Homf chomf 13584  compfccomf 13585  oppCatcoppc 13630   SetCatcsetc 13923   curryF ccurf 14000  HomFchof 14038  Yoncyon 14039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-homf 13588  df-comf 13589  df-oppc 13631  df-func 13748  df-setc 13924  df-xpc 13962  df-curf 14004  df-hof 14040  df-yon 14041
  Copyright terms: Public domain W3C validator