MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Structured version   Unicode version

Theorem oppcyon 14368
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcyon.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oppcyon.m  |-  M  =  (HomF
`  C )
oppcyon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
oppcyon  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4  |-  M  =  (HomF
`  C )
2 oppcyon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 13952 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
)
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
) )
522oppccomf 13953 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcyon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 13950 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 13950 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12hofpropd 14366 . . . 4  |-  ( ph  ->  (HomF
`  C )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
) )
141, 13syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (HomF `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveq2d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  M )  =  (
<. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  (HomF
`  (oppCat `  O )
) ) )
16 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  O )  =  (  Homf 
`  O ) )
17 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  O )  =  (compf `  O ) )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( SetCat ` 
ran  (  Homf  `  C ) )  =  ( SetCat ` 
ran  (  Homf  `  C ) )
19 fvex 5744 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  e.  _V
2019rnex 5135 . . . . 5  |-  ran  (  Homf  `  C )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  Homf  `  C )  e.  _V )
22 ssid 3369 . . . . 5  |-  ran  (  Homf  `  C )  C_  ran  (  Homf 
`  C )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  Homf  `  C ) 
C_  ran  (  Homf  `  C
) )
241, 2, 18, 7, 21, 23hofcl 14358 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( O  X.c  C )  Func  ( SetCat `
 ran  (  Homf  `  C
) ) ) )
2516, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 24curfpropd 14332 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  C >. curryF  M
)  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  M ) )
26 oppcyon.y . . 3  |-  Y  =  (Yon `  O )
27 eqid 2438 . . 3  |-  (HomF `  (oppCat `  O ) )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
)
2826, 9, 10, 27yonval 14360 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  (HomF `  (oppCat `  O )
) ) )
2915, 25, 283eqtr4rd 2481 1  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   <.cop 3819   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Catccat 13891    Homf chomf 13893  compfccomf 13894  oppCatcoppc 13939   SetCatcsetc 14232   curryF ccurf 14309  HomFchof 14347  Yoncyon 14348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-hom 13555  df-cco 13556  df-cat 13895  df-cid 13896  df-homf 13897  df-comf 13898  df-oppc 13940  df-func 14057  df-setc 14233  df-xpc 14271  df-curf 14313  df-hof 14349  df-yon 14350
  Copyright terms: Public domain W3C validator