MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Unicode version

Theorem oppcyon 14043
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcyon.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oppcyon.m  |-  M  =  (HomF
`  C )
oppcyon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
oppcyon  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4  |-  M  =  (HomF
`  C )
2 oppcyon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 13627 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
)
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  (oppCat `  O )
) )
522oppccomf 13628 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcyon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 13625 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 13625 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12hofpropd 14041 . . . 4  |-  ( ph  ->  (HomF
`  C )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
) )
141, 13syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (HomF `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  M )  =  (
<. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  (HomF
`  (oppCat `  O )
) ) )
16 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  O )  =  (  Homf 
`  O ) )
17 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  O )  =  (compf `  O ) )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( SetCat ` 
ran  (  Homf  `  C ) )  =  ( SetCat ` 
ran  (  Homf  `  C ) )
19 fvex 5539 . . . . . 6  |-  (  Homf  `  C )  e.  _V
2019rnex 4942 . . . . 5  |-  ran  (  Homf  `  C )  e.  _V
2120a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  Homf  `  C )  e.  _V )
22 ssid 3197 . . . . 5  |-  ran  (  Homf  `  C )  C_  ran  (  Homf 
`  C )
2322a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  Homf  `  C ) 
C_  ran  (  Homf  `  C
) )
241, 2, 18, 7, 21, 23hofcl 14033 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( O  X.c  C )  Func  ( SetCat `
 ran  (  Homf  `  C
) ) ) )
2516, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 24curfpropd 14007 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  C >. curryF  M
)  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  M ) )
26 oppcyon.y . . 3  |-  Y  =  (Yon `  O )
27 eqid 2283 . . 3  |-  (HomF `  (oppCat `  O ) )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
)
2826, 9, 10, 27yonval 14035 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  (HomF `  (oppCat `  O )
) ) )
2915, 25, 283eqtr4rd 2326 1  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Catccat 13566    Homf chomf 13568  compfccomf 13569  oppCatcoppc 13614   SetCatcsetc 13907   curryF ccurf 13984  HomFchof 14022  Yoncyon 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-homf 13572  df-comf 13573  df-oppc 13615  df-func 13732  df-setc 13908  df-xpc 13946  df-curf 13988  df-hof 14024  df-yon 14025
  Copyright terms: Public domain W3C validator