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Theorem oppglsm 14969
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
oppglsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
oppglsm  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 oppglsm.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmfval 14965 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
5 tposeq 6252 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )  -> tpos  .(+)  = tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G
) ,  t  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  = tpos  (
u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
87reldmmpt2 5971 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
97mpt2fun 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
10 funforn 5474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
119, 10mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
12 tposfo2 6273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> 
( ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : `' dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
138, 11, 12mp2 17 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
14 forn 5470 . . . . . . . . . . 11  |-  (tpos  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  ->  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
16 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  (oppg
`  G )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
182, 16, 17oppgplus 14838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
1918eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  u  /\  x  e.  t )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2120mpt2eq3ia 5929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2221tposmpt2 6287 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2322rneqi 4921 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2415, 23eqtr3i 2318 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2524a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~P ( Base `  G )  /\  t  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
2625mpt2eq3ia 5929 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
2726tposmpt2 6287 . . . . . 6  |- tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
286, 27syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
29 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (oppg `  G
)  e.  _V
3016, 29eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
3116, 1oppgbas 14840 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
32 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  O )  =  (
LSSum `  O )
3331, 17, 32lsmfval 14965 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
3430, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
3528, 34syl6reqr 2347 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  = tpos  .(+)  )
3635oveqd 5891 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( Ttpos  .(+)  U ) )
37 ovtpos 6265 . . 3  |-  ( Ttpos  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T )
3836, 37syl6eq 2344 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
39 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) )
40 0ex 4166 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
41 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  -> 
(/)  =  (/) )
4239, 40, 41elovmpt2 6080 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  <->  ( T  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  U  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  x  e.  (/) ) )
4342simp3bi 972 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  ->  x  e.  (/) )
4443ssriv 3197 . . . 4  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  C_  (/)
45 ss0 3498 . . . 4  |-  ( ( T ( t  e. 
~P ( Base `  G
) ,  u  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) 
C_  (/)  ->  ( T
( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/) )
4644, 45ax-mp 8 . . 3  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/)
47 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G )  ->  t  C_  ( Base `  G
) )
48473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  ( Base `  G ) )
49 fvprc 5535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  (/) )
50493ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  (/) )
5148, 50sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  (/) )
52 ss0 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t 
C_  (/)  ->  t  =  (/) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  =  (/) )
54 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  u  =  u
55 mpt2eq12 5924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  u  =  u )  ->  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
5653, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
57 mpt20 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/)
5856, 57syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
5958rneqd 4922 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ran  (/) )
60 rn0 4952 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
6159, 60syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
6261mpt2eq3dva 5928 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6334, 62syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6463oveqd 5891 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) )
65 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  G )  =  (/) )
663, 65syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .(+) 
=  (/) )
6766oveqd 5891 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  ( U (/) T ) )
68 df-ov 5877 . . . . 5  |-  ( U
(/) T )  =  ( (/) `  <. U ,  T >. )
69 fv01 5575 . . . . 5  |-  ( (/) ` 
<. U ,  T >. )  =  (/)
7068, 69eqtri 2316 . . . 4  |-  ( U
(/) T )  =  (/)
7167, 70syl6eq 2344 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  (/) )
7246, 64, 713eqtr4a 2354 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
7338, 72pm2.61i 156 1  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   <.cop 3656   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   Rel wrel 4710   Fun wfun 5265   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  tpos ctpos 6249   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  oppgcoppg 14834   LSSumclsm 14961
This theorem is referenced by:  lsmmod2  15001  lsmdisj2r  15010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-oppg 14835  df-lsm 14963
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