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Theorem oppglsm 14953
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
oppglsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
oppglsm  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 oppglsm.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmfval 14949 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
5 tposeq 6236 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )  -> tpos  .(+)  = tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G
) ,  t  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  = tpos  (
u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
87reldmmpt2 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
97mpt2fun 5946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
10 funforn 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
119, 10mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
12 tposfo2 6257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> 
( ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : `' dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
138, 11, 12mp2 17 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
14 forn 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  (tpos  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  ->  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
16 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  (oppg
`  G )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
182, 16, 17oppgplus 14822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
1918eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  u  /\  x  e.  t )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2120mpt2eq3ia 5913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2221tposmpt2 6271 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2322rneqi 4905 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2415, 23eqtr3i 2305 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2524a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~P ( Base `  G )  /\  t  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
2625mpt2eq3ia 5913 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
2726tposmpt2 6271 . . . . . 6  |- tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
286, 27syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
29 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  (oppg `  G
)  e.  _V
3016, 29eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
3116, 1oppgbas 14824 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
32 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  O )  =  (
LSSum `  O )
3331, 17, 32lsmfval 14949 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
3430, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
3528, 34syl6reqr 2334 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  = tpos  .(+)  )
3635oveqd 5875 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( Ttpos  .(+)  U ) )
37 ovtpos 6249 . . 3  |-  ( Ttpos  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T )
3836, 37syl6eq 2331 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
39 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) )
40 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
41 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  -> 
(/)  =  (/) )
4239, 40, 41elovmpt2 6064 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  <->  ( T  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  U  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  x  e.  (/) ) )
4342simp3bi 972 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  ->  x  e.  (/) )
4443ssriv 3184 . . . 4  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  C_  (/)
45 ss0 3485 . . . 4  |-  ( ( T ( t  e. 
~P ( Base `  G
) ,  u  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) 
C_  (/)  ->  ( T
( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/) )
4644, 45ax-mp 8 . . 3  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/)
47 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G )  ->  t  C_  ( Base `  G
) )
48473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  ( Base `  G ) )
49 fvprc 5519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  (/) )
50493ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  (/) )
5148, 50sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  (/) )
52 ss0 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t 
C_  (/)  ->  t  =  (/) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  =  (/) )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  u  =  u
55 mpt2eq12 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  u  =  u )  ->  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
5653, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
57 mpt20 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/)
5856, 57syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
5958rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ran  (/) )
60 rn0 4936 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
6159, 60syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
6261mpt2eq3dva 5912 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6334, 62syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6463oveqd 5875 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) )
65 fvprc 5519 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  G )  =  (/) )
663, 65syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .(+) 
=  (/) )
6766oveqd 5875 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  ( U (/) T ) )
68 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( U
(/) T )  =  ( (/) `  <. U ,  T >. )
69 fv01 5559 . . . . 5  |-  ( (/) ` 
<. U ,  T >. )  =  (/)
7068, 69eqtri 2303 . . . 4  |-  ( U
(/) T )  =  (/)
7167, 70syl6eq 2331 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  (/) )
7246, 64, 713eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
7338, 72pm2.61i 156 1  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  tpos ctpos 6233   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  oppgcoppg 14818   LSSumclsm 14945
This theorem is referenced by:  lsmmod2  14985  lsmdisj2r  14994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-oppg 14819  df-lsm 14947
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