Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglsm Unicode version

Theorem oppglsm 14969
 Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o oppg
oppglsm.p
Assertion
Ref Expression
oppglsm

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . 8
2 eqid 2296 . . . . . . . 8
3 oppglsm.p . . . . . . . 8
41, 2, 3lsmfval 14965 . . . . . . 7
5 tposeq 6252 . . . . . . 7 tpos tpos
64, 5syl 15 . . . . . 6 tpos tpos
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
87reldmmpt2 5971 . . . . . . . . . . . 12
97mpt2fun 5962 . . . . . . . . . . . . 13
10 funforn 5474 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12
12 tposfo2 6273 . . . . . . . . . . . 12 tpos
138, 11, 12mp2 17 . . . . . . . . . . 11 tpos
14 forn 5470 . . . . . . . . . . 11 tpos tpos
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 tpos
16 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 oppg
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182, 16, 17oppgplus 14838 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . 14
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
2120mpt2eq3ia 5929 . . . . . . . . . . . 12
2221tposmpt2 6287 . . . . . . . . . . 11 tpos
2322rneqi 4921 . . . . . . . . . 10 tpos
2415, 23eqtr3i 2318 . . . . . . . . 9
2524a1i 10 . . . . . . . 8
2625mpt2eq3ia 5929 . . . . . . 7
2726tposmpt2 6287 . . . . . 6 tpos
286, 27syl6eq 2344 . . . . 5 tpos
29 fvex 5555 . . . . . . 7 oppg
3016, 29eqeltri 2366 . . . . . 6
3116, 1oppgbas 14840 . . . . . . 7
32 eqid 2296 . . . . . . 7
3331, 17, 32lsmfval 14965 . . . . . 6
3430, 33ax-mp 8 . . . . 5
3528, 34syl6reqr 2347 . . . 4 tpos
3635oveqd 5891 . . 3 tpos
37 ovtpos 6265 . . 3 tpos
3836, 37syl6eq 2344 . 2
39 eqid 2296 . . . . . . 7
40 0ex 4166 . . . . . . 7
41 eqidd 2297 . . . . . . 7
4239, 40, 41elovmpt2 6080 . . . . . 6
4342simp3bi 972 . . . . 5
4443ssriv 3197 . . . 4
45 ss0 3498 . . . 4
4644, 45ax-mp 8 . . 3
47 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13
48473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12
49 fvprc 5535 . . . . . . . . . . . . 13
50493ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12
5148, 50sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . 11
52 ss0 3498 . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . 10
54 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
55 mpt2eq12 5924 . . . . . . . . . 10
5653, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . 9
57 mpt20 6215 . . . . . . . . 9
5856, 57syl6eq 2344 . . . . . . . 8
5958rneqd 4922 . . . . . . 7
60 rn0 4952 . . . . . . 7
6159, 60syl6eq 2344 . . . . . 6
6261mpt2eq3dva 5928 . . . . 5
6334, 62syl5eq 2340 . . . 4
6463oveqd 5891 . . 3
65 fvprc 5535 . . . . . 6
663, 65syl5eq 2340 . . . . 5
6766oveqd 5891 . . . 4
68 df-ov 5877 . . . . 5
69 fv01 5575 . . . . 5
7068, 69eqtri 2316 . . . 4
7167, 70syl6eq 2344 . . 3
7246, 64, 713eqtr4a 2354 . 2
7338, 72pm2.61i 156 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  cop 3656  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   wrel 4710   wfun 5265  wfo 5269  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  tpos ctpos 6249  cbs 13164   cplusg 13224  oppgcoppg 14834  clsm 14961 This theorem is referenced by:  lsmmod2  15001  lsmdisj2r  15010 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-oppg 14835  df-lsm 14963
 Copyright terms: Public domain W3C validator