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Theorem oppglsm 15276
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
oppglsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
oppglsm  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 oppglsm.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmfval 15272 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
54tposeqd 6482 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  = tpos  (
u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
6 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
76reldmmpt2 6181 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
86mpt2fun 6172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
9 funforn 5660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
108, 9mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
11 tposfo2 6502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> 
( ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : `' dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
127, 10, 11mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
13 forn 5656 . . . . . . . . . . 11  |-  (tpos  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  ->  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
15 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  (oppg
`  G )
16 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
172, 15, 16oppgplus 15145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
1817eqcomi 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  u  /\  x  e.  t )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2019mpt2eq3ia 6139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2120tposmpt2 6516 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2221rneqi 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2314, 22eqtr3i 2458 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2423a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~P ( Base `  G )  /\  t  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
2524mpt2eq3ia 6139 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
2625tposmpt2 6516 . . . . . 6  |- tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
275, 26syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
28 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  (oppg `  G
)  e.  _V
2915, 28eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
3015, 1oppgbas 15147 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
31 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  O )  =  (
LSSum `  O )
3230, 16, 31lsmfval 15272 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
3329, 32ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
3427, 33syl6reqr 2487 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  = tpos  .(+)  )
3534oveqd 6098 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( Ttpos  .(+)  U ) )
36 ovtpos 6494 . . 3  |-  ( Ttpos  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T )
3735, 36syl6eq 2484 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
38 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) )
39 0ex 4339 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
40 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  -> 
(/)  =  (/) )
4138, 39, 40elovmpt2 6291 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  <->  ( T  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  U  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  x  e.  (/) ) )
4241simp3bi 974 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  ->  x  e.  (/) )
4342ssriv 3352 . . . 4  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  C_  (/)
44 ss0 3658 . . . 4  |-  ( ( T ( t  e. 
~P ( Base `  G
) ,  u  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) 
C_  (/)  ->  ( T
( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/) )
4543, 44ax-mp 8 . . 3  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/)
46 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G )  ->  t  C_  ( Base `  G
) )
47463ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  ( Base `  G ) )
48 fvprc 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  (/) )
49483ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  (/) )
5047, 49sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  (/) )
51 ss0 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t 
C_  (/)  ->  t  =  (/) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  =  (/) )
53 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  u  =  u
54 mpt2eq12 6134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  u  =  u )  ->  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
5552, 53, 54sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
56 mpt20 6427 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/)
5755, 56syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
5857rneqd 5097 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ran  (/) )
59 rn0 5127 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
6058, 59syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
6160mpt2eq3dva 6138 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6233, 61syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6362oveqd 6098 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) )
64 fvprc 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  G )  =  (/) )
653, 64syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .(+) 
=  (/) )
6665oveqd 6098 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  ( U (/) T ) )
67 df-ov 6084 . . . . 5  |-  ( U
(/) T )  =  ( (/) `  <. U ,  T >. )
68 fv01 5763 . . . . 5  |-  ( (/) ` 
<. U ,  T >. )  =  (/)
6967, 68eqtri 2456 . . . 4  |-  ( U
(/) T )  =  (/)
7066, 69syl6eq 2484 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  (/) )
7145, 63, 703eqtr4a 2494 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
7237, 71pm2.61i 158 1  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   <.cop 3817   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   Rel wrel 4883   Fun wfun 5448   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083  tpos ctpos 6478   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  oppgcoppg 15141   LSSumclsm 15268
This theorem is referenced by:  lsmmod2  15308  lsmdisj2r  15317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-oppg 15142  df-lsm 15270
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