MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Unicode version

Theorem oppgplus 14822
Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplus  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 oppgval.3 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
3 oppgplusfval.4 . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
41, 2, 3oppgplusfval 14821 . . 3  |-  .+b  = tpos  .+
54oveqi 5871 . 2  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Xtpos  .+  Y
)
6 ovtpos 6249 . 2  |-  ( Xtpos  .+  Y )  =  ( Y  .+  X )
75, 6eqtri 2303 1  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  tpos ctpos 6233   +g cplusg 13208  oppgcoppg 14818
This theorem is referenced by:  oppgmnd  14827  oppgmndb  14828  oppgid  14829  oppggrp  14830  oppggrpb  14831  oppginv  14832  invoppggim  14833  oppgsubm  14835  oppgcntz  14837  gsumwrev  14839  oppglsm  14953  gsumzoppg  15216  oppgtmd  17780  tgpconcomp  17795  divstgpopn  17802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-oppg 14819
  Copyright terms: Public domain W3C validator