MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Unicode version

Theorem oppgplusfval 15149
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval  |-  .+b  = tpos  .+

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
2 oppgval.2 . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  e.  _V
42, 3eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  .+  e.  _V
54tposex 6516 . . . . 5  |- tpos  .+  e.  _V
6 plusgid 13569 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
76setsid 13513 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\ tpos  .+  e.  _V )  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
85, 7mpan2 654 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
9 oppgval.3 . . . . . 6  |-  O  =  (oppg
`  R )
102, 9oppgval 15148 . . . . 5  |-  O  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
1110fveq2i 5734 . . . 4  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
)
128, 11syl6reqr 2489 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
13 tpos0 6512 . . . . 5  |- tpos  (/)  =  (/)
146str0 13510 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
1513, 14eqtr2i 2459 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  = tpos  (/)
16 reldmsets 13496 . . . . . . 7  |-  Rel  dom sSet
1716ovprc1 6112 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )  =  (/) )
1810, 17syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
1918fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  (/) ) )
20 fvprc 5725 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  R )  =  (/) )
212, 20syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
2221tposeqd 6485 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  -> tpos  .+  = tpos 
(/) )
2315, 19, 223eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
2412, 23pm2.61i 159 . 2  |-  ( +g  `  O )  = tpos  .+
251, 24eqtri 2458 1  |-  .+b  = tpos  .+
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   <.cop 3819   ` cfv 5457  (class class class)co 6084  tpos ctpos 6481   ndxcnx 13471   sSet csts 13472   +g cplusg 13534  oppgcoppg 15146
This theorem is referenced by:  oppgplus  15150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-tpos 6482  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-oppg 15147
  Copyright terms: Public domain W3C validator