MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Unicode version

Theorem oppgsubg 15114
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgsubg  |-  (SubGrp `  G )  =  (SubGrp `  O )

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 14904 . . 3  |-  ( x  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
2 subgrcl 14904 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubGrp `  O
)  ->  O  e.  Grp )
3 oppggic.o . . . . 5  |-  O  =  (oppg
`  G )
43oppggrpb 15109 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  <->  O  e.  Grp )
52, 4sylibr 204 . . 3  |-  ( x  e.  (SubGrp `  O
)  ->  G  e.  Grp )
63oppgsubm 15113 . . . . . . 7  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )
76eleq2i 2468 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) ) )
9 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
103, 9oppginv 15110 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  O ) )
1110fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  ( ( inv g `  O
) `  y )
)
1211eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  <->  ( ( inv g `  O ) `
 y )  e.  x ) )
1312ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. y  e.  x  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  <->  A. y  e.  x  ( ( inv g `  O ) `
 y )  e.  x ) )
148, 13anbi12d 692 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( x  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. y  e.  x  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  (
( inv g `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
159issubg3 14915 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. y  e.  x  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x ) ) )
16 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( inv g `  O )  =  ( inv g `  O )
1716issubg3 14915 . . . . 5  |-  ( O  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  O )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  ( ( inv g `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
184, 17sylbi 188 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  O )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  ( ( inv g `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
1914, 15, 183bitr4d 277 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  G )  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) ) )
201, 5, 19pm5.21nii 343 . 2  |-  ( x  e.  (SubGrp `  G
)  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) )
2120eqriv 2401 1  |-  (SubGrp `  G )  =  (SubGrp `  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   ` cfv 5413   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641  SubMndcsubmnd 14692  SubGrpcsubg 14893  oppgcoppg 15096
This theorem is referenced by:  lsmmod2  15263  lsmdisj2r  15272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-oppg 15097
  Copyright terms: Public domain W3C validator