MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Unicode version

Theorem oppgsubg 15164
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgsubg  |-  (SubGrp `  G )  =  (SubGrp `  O )

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 14954 . . 3  |-  ( x  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
2 subgrcl 14954 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubGrp `  O
)  ->  O  e.  Grp )
3 oppggic.o . . . . 5  |-  O  =  (oppg
`  G )
43oppggrpb 15159 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  <->  O  e.  Grp )
52, 4sylibr 205 . . 3  |-  ( x  e.  (SubGrp `  O
)  ->  G  e.  Grp )
63oppgsubm 15163 . . . . . . 7  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )
76eleq2i 2502 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) ) )
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
103, 9oppginv 15160 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  O ) )
1110fveq1d 5733 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  ( ( inv g `  O
) `  y )
)
1211eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  <->  ( ( inv g `  O ) `
 y )  e.  x ) )
1312ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. y  e.  x  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  <->  A. y  e.  x  ( ( inv g `  O ) `
 y )  e.  x ) )
148, 13anbi12d 693 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( x  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. y  e.  x  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  (
( inv g `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
159issubg3 14965 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. y  e.  x  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x ) ) )
16 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( inv g `  O )  =  ( inv g `  O )
1716issubg3 14965 . . . . 5  |-  ( O  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  O )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  ( ( inv g `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
184, 17sylbi 189 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  O )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  ( ( inv g `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
1914, 15, 183bitr4d 278 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  G )  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) ) )
201, 5, 19pm5.21nii 344 . 2  |-  ( x  e.  (SubGrp `  G
)  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) )
2120eqriv 2435 1  |-  (SubGrp `  G )  =  (SubGrp `  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   ` cfv 5457   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691  SubMndcsubmnd 14742  SubGrpcsubg 14943  oppgcoppg 15146
This theorem is referenced by:  lsmmod2  15313  lsmdisj2r  15322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-oppg 15147
  Copyright terms: Public domain W3C validator