MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtgp Unicode version

Theorem oppgtgp 18089
Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtgp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e.  TopGrp )

Proof of Theorem oppgtgp
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 18069 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppggrp 15116 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  O  e.  Grp )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e.  Grp )
5 tgptmd 18070 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
62oppgtmd 18088 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e. TopMnd )
8 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
92, 8oppginv 15118 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  O ) )
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  O
) )
11 eqid 2412 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
1211, 8tgpinv 18076 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen `  G )
) )
1310, 12eqeltrrd 2487 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  O )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen `  G )
) )
142, 11oppgtopn 15112 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
15 eqid 2412 . . 3  |-  ( inv g `  O )  =  ( inv g `  O )
1614, 15istgp 18068 . 2  |-  ( O  e.  TopGrp 
<->  ( O  e.  Grp  /\  O  e. TopMnd  /\  ( inv g `  O )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
174, 7, 13, 16syl3anbrc 1138 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   TopOpenctopn 13612   Grpcgrp 14648   inv gcminusg 14649  oppgcoppg 15104    Cn ccn 17250  TopMndctmd 18061   TopGrpctgp 18062
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  18103  divstgpopn  18110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-tset 13511  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-plusf 14654  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-oppg 15105  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-tx 17555  df-tmd 18063  df-tgp 18064
  Copyright terms: Public domain W3C validator