MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtgp Unicode version

Theorem oppgtgp 17783
Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtgp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e.  TopGrp )

Proof of Theorem oppgtgp
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 17763 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppggrp 14832 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  O  e.  Grp )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e.  Grp )
5 tgptmd 17764 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
62oppgtmd 17782 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e. TopMnd )
8 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
92, 8oppginv 14834 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  O ) )
101, 9syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  O
) )
11 eqid 2285 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
1211, 8tgpinv 17770 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen `  G )
) )
1310, 12eqeltrrd 2360 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  O )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen `  G )
) )
142, 11oppgtopn 14828 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
15 eqid 2285 . . 3  |-  ( inv g `  O )  =  ( inv g `  O )
1614, 15istgp 17762 . 2  |-  ( O  e.  TopGrp 
<->  ( O  e.  Grp  /\  O  e. TopMnd  /\  ( inv g `  O )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
174, 7, 13, 16syl3anbrc 1136 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  O  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   TopOpenctopn 13328   Grpcgrp 14364   inv gcminusg 14365  oppgcoppg 14820    Cn ccn 16956  TopMndctmd 17755   TopGrpctgp 17756
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  17797  divstgpopn  17804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-plusg 13223  df-tset 13229  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-plusf 14370  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-oppg 14821  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cn 16959  df-tx 17259  df-tmd 17757  df-tgp 17758
  Copyright terms: Public domain W3C validator