MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Unicode version

Theorem oppgtmd 17796
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtmd  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 17774 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppgmnd 14843 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  O  e.  Mnd )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  Mnd )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
6 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6tmdtopon 17780 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  G
)  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
82, 6oppgbas 14840 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
92, 5oppgtopn 14842 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
108, 9istps 16690 . . 3  |-  ( O  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
117, 10sylibr 203 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  TopSp )
12 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 id 19 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e. TopMnd )
147, 7cnmpt2nd 17379 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
157, 7cnmpt1st 17378 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 17787 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
17 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
18 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( + f `  O )  =  ( + f `  O )
198, 17, 18plusffval 14395 . . . 4  |-  ( + f `  O )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2012, 2, 17oppgplus 14838 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
216, 6, 20mpt2eq123i 5927 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2219, 21eqtr2i 2317 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ( + f `  O )
2322, 9istmd 17773 . 2  |-  ( O  e. TopMnd 
<->  ( O  e.  Mnd  /\  O  e.  TopSp  /\  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1136 1  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   Mndcmnd 14377   + fcplusf 14380  oppgcoppg 14834  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650    Cn ccn 16970    tX ctx 17271  TopMndctmd 17769
This theorem is referenced by:  oppgtgp  17797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-oppg 14835  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-tx 17273  df-tmd 17771
  Copyright terms: Public domain W3C validator