MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Unicode version

Theorem oppgtmd 18042
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtmd  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 18020 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppgmnd 15071 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  O  e.  Mnd )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  Mnd )
5 eqid 2381 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
6 eqid 2381 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6tmdtopon 18026 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  G
)  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
82, 6oppgbas 15068 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
92, 5oppgtopn 15070 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
108, 9istps 16918 . . 3  |-  ( O  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
117, 10sylibr 204 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  TopSp )
12 eqid 2381 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 id 20 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e. TopMnd )
147, 7cnmpt2nd 17616 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
157, 7cnmpt1st 17615 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 18033 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
17 eqid 2381 . . . . 5  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
18 eqid 2381 . . . . 5  |-  ( + f `  O )  =  ( + f `  O )
198, 17, 18plusffval 14623 . . . 4  |-  ( + f `  O )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2012, 2, 17oppgplus 15066 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
216, 6, 20mpt2eq123i 6070 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2219, 21eqtr2i 2402 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ( + f `  O )
2322, 9istmd 18019 . 2  |-  ( O  e. TopMnd 
<->  ( O  e.  Mnd  /\  O  e.  TopSp  /\  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1138 1  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    e. cmpt2 6016   Basecbs 13390   +g cplusg 13450   TopOpenctopn 13570   Mndcmnd 14605   + fcplusf 14608  oppgcoppg 15062  TopOnctopon 16876   TopSpctps 16878    Cn ccn 17204    tX ctx 17507  TopMndctmd 18015
This theorem is referenced by:  oppgtgp  18043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-tpos 6409  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-plusg 13463  df-tset 13469  df-rest 13571  df-topn 13572  df-topgen 13588  df-0g 13648  df-mnd 14611  df-plusf 14612  df-oppg 15063  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-topsp 16884  df-cn 17207  df-tx 17509  df-tmd 18017
  Copyright terms: Public domain W3C validator