MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Unicode version

Theorem oppgtmd 17780
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtmd  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 17758 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppgmnd 14827 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  O  e.  Mnd )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  Mnd )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6tmdtopon 17764 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  G
)  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
82, 6oppgbas 14824 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
92, 5oppgtopn 14826 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
108, 9istps 16674 . . 3  |-  ( O  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
117, 10sylibr 203 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  TopSp )
12 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 id 19 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e. TopMnd )
147, 7cnmpt2nd 17363 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
157, 7cnmpt1st 17362 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 17771 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
18 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( + f `  O )  =  ( + f `  O )
198, 17, 18plusffval 14379 . . . 4  |-  ( + f `  O )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2012, 2, 17oppgplus 14822 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
216, 6, 20mpt2eq123i 5911 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2219, 21eqtr2i 2304 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ( + f `  O )
2322, 9istmd 17757 . 2  |-  ( O  e. TopMnd 
<->  ( O  e.  Mnd  /\  O  e.  TopSp  /\  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1136 1  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   Mndcmnd 14361   + fcplusf 14364  oppgcoppg 14818  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634    Cn ccn 16954    tX ctx 17255  TopMndctmd 17753
This theorem is referenced by:  oppgtgp  17781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-oppg 14819  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-tx 17257  df-tmd 17755
  Copyright terms: Public domain W3C validator