Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprrng Structured version   Unicode version

Theorem opprrng 15736
 Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 oppr
Assertion
Ref Expression
opprrng

Proof of Theorem opprrng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . 4 oppr
2 eqid 2436 . . . 4
31, 2opprbas 15734 . . 3
43a1i 11 . 2
5 eqid 2436 . . . 4
61, 5oppradd 15735 . . 3
76a1i 11 . 2
8 eqidd 2437 . 2
9 rnggrp 15669 . . 3
103, 6grpprop 14824 . . 3
119, 10sylib 189 . 2
12 eqid 2436 . . . 4
13 eqid 2436 . . . 4
142, 12, 1, 13opprmul 15731 . . 3
152, 12rngcl 15677 . . . 4
16153com23 1159 . . 3
1714, 16syl5eqel 2520 . 2
18 simpl 444 . . . . 5
19 simpr3 965 . . . . 5
20 simpr2 964 . . . . 5
21 simpr1 963 . . . . 5
222, 12rngass 15680 . . . . 5
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1186 . . . 4
2423eqcomd 2441 . . 3
2514oveq1i 6091 . . . 4
262, 12, 1, 13opprmul 15731 . . . 4
2725, 26eqtri 2456 . . 3
282, 12, 1, 13opprmul 15731 . . . . 5
2928oveq2i 6092 . . . 4
302, 12, 1, 13opprmul 15731 . . . 4
3129, 30eqtri 2456 . . 3
3224, 27, 313eqtr4g 2493 . 2
332, 5, 12rngdir 15683 . . . 4
3418, 20, 19, 21, 33syl13anc 1186 . . 3
352, 12, 1, 13opprmul 15731 . . 3
362, 12, 1, 13opprmul 15731 . . . 4
3714, 36oveq12i 6093 . . 3
3834, 35, 373eqtr4g 2493 . 2
392, 5, 12rngdi 15682 . . . 4
4018, 19, 21, 20, 39syl13anc 1186 . . 3
412, 12, 1, 13opprmul 15731 . . 3
4236, 28oveq12i 6093 . . 3
4340, 41, 423eqtr4g 2493 . 2
44 eqid 2436 . . 3
452, 44rngidcl 15684 . 2
462, 12, 1, 13opprmul 15731 . . 3
472, 12, 44rngridm 15688 . . 3
4846, 47syl5eq 2480 . 2
492, 12, 1, 13opprmul 15731 . . 3
502, 12, 44rnglidm 15687 . . 3
5149, 50syl5eq 2480 . 2
524, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43, 45, 48, 51isrngd 15698 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  cgrp 14685  crg 15660  cur 15662  opprcoppr 15727 This theorem is referenced by:  opprrngb  15737  mulgass3  15742  1unit  15763  unitmulcl  15769  unitnegcl  15786  irredlmul  15813  isdrngrd  15861  issrngd  15949  2idlcpbl  16305  opprnzr  16335  ply1divalg2  20061  lduallmodlem  29950 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728
 Copyright terms: Public domain W3C validator