MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabex Unicode version

Theorem oprabex 5961
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1  |-  A  e. 
_V
oprabex.2  |-  B  e. 
_V
oprabex.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
oprabex.4  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
oprabex  |-  F  e. 
_V
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
2 oprabex.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
3 moanimv 2201 . . . . 5  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph ) )
42, 3mpbir 200 . . . 4  |-  E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph )
54funoprab 5944 . . 3  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
6 oprabex.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
7 oprabex.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
86, 7xpex 4801 . . . 4  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
9 dmoprabss 5929 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
108, 9ssexi 4159 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V
11 funex 5743 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 653 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph ) }  e.  _V
131, 12eqeltri 2353 1  |-  F  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   _Vcvv 2788    X. cxp 4687   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   {coprab 5859
This theorem is referenced by:  oprabex3  5962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-oprab 5862
  Copyright terms: Public domain W3C validator