MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabex Structured version   Unicode version

Theorem oprabex 6189
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1  |-  A  e. 
_V
oprabex.2  |-  B  e. 
_V
oprabex.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
oprabex.4  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
oprabex  |-  F  e. 
_V
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
2 oprabex.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
3 moanimv 2341 . . . . 5  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph ) )
42, 3mpbir 202 . . . 4  |-  E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph )
54funoprab 6172 . . 3  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
6 oprabex.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
7 oprabex.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
86, 7xpex 4992 . . . 4  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
9 dmoprabss 6157 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
108, 9ssexi 4350 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V
11 funex 5965 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 655 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph ) }  e.  _V
131, 12eqeltri 2508 1  |-  F  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E*wmo 2284   _Vcvv 2958    X. cxp 4878   dom cdm 4880   Fun wfun 5450   {coprab 6084
This theorem is referenced by:  oprabex3  6190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-oprab 6087
  Copyright terms: Public domain W3C validator