MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabex Unicode version

Theorem oprabex 5977
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1  |-  A  e. 
_V
oprabex.2  |-  B  e. 
_V
oprabex.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
oprabex.4  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
oprabex  |-  F  e. 
_V
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
2 oprabex.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
3 moanimv 2214 . . . . 5  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph ) )
42, 3mpbir 200 . . . 4  |-  E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph )
54funoprab 5960 . . 3  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
6 oprabex.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
7 oprabex.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
86, 7xpex 4817 . . . 4  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
9 dmoprabss 5945 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
108, 9ssexi 4175 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V
11 funex 5759 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 653 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph ) }  e.  _V
131, 12eqeltri 2366 1  |-  F  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E*wmo 2157   _Vcvv 2801    X. cxp 4703   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   {coprab 5875
This theorem is referenced by:  oprabex3  5978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5878
  Copyright terms: Public domain W3C validator