MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Unicode version

Theorem oprabexd 6153
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
oprabexd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
oprabexd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
oprabexd.4  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
Assertion
Ref Expression
oprabexd  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
2 oprabexd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
32ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
4 moanimv 2320 . . . . . 6  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
53, 4sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
65alrimivv 1639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x A. y E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
7 funoprabg 6136 . . . 4  |-  ( A. x A. y E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
9 dmoprabss 6122 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B )
10 oprabexd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 oprabexd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
12 xpexg 4956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
14 ssexg 4317 . . . 4  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
159, 13, 14sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
16 funex 5930 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
178, 15, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
181, 17eqeltrd 2486 1  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2263   _Vcvv 2924    C_ wss 3288    X. cxp 4843   dom cdm 4845   Fun wfun 5415   {coprab 6049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-oprab 6052
  Copyright terms: Public domain W3C validator