MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   Unicode version

Theorem oprabexd 6189
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
oprabexd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
oprabexd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
oprabexd.4  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
Assertion
Ref Expression
oprabexd  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
2 oprabexd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
32ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
4 moanimv 2341 . . . . . 6  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
53, 4sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
65alrimivv 1643 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x A. y E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
7 funoprabg 6172 . . . 4  |-  ( A. x A. y E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
9 dmoprabss 6158 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B )
10 oprabexd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 oprabexd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
12 xpexg 4992 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
1310, 11, 12syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
14 ssexg 4352 . . . 4  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
159, 13, 14sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
16 funex 5966 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
178, 15, 16syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
181, 17eqeltrd 2512 1  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   E*wmo 2284   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    X. cxp 4879   dom cdm 4881   Fun wfun 5451   {coprab 6085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-oprab 6088
  Copyright terms: Public domain W3C validator