MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabrexex2 Unicode version

Theorem oprabrexex2 5979
Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabrexex2.1  |-  A  e. 
_V
oprabrexex2.2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
Assertion
Ref Expression
oprabrexex2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oprab 5878 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph ) }
2 rexcom4 2820 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) 
<->  E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
3 rexcom4 2820 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
4 rexcom4 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z E. w  e.  A  ( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) )
5 r19.42v 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
65exbii 1572 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w  e.  A  ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
74, 6bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
87exbii 1572 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w  e.  A  E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
93, 8bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
109exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  E. w  e.  A  ph ) )
112, 10bitr2i 241 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph )  <->  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
1211abbii 2408 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) }  =  {
v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph ) }
131, 12eqtri 2316 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) }
14 oprabrexex2.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
15 df-oprab 5878 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }
16 oprabrexex2.2 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
1715, 16eqeltrri 2367 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1814, 17abrexex2 5796 . 2  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1913, 18eqeltri 2366 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   <.cop 3656   {coprab 5875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5878
  Copyright terms: Public domain W3C validator