MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabrexex2 Structured version   Unicode version

Theorem oprabrexex2 6189
Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabrexex2.1  |-  A  e. 
_V
oprabrexex2.2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
Assertion
Ref Expression
oprabrexex2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oprab 6085 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph ) }
2 rexcom4 2975 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) 
<->  E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
3 rexcom4 2975 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
4 rexcom4 2975 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z E. w  e.  A  ( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) )
5 r19.42v 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
65exbii 1592 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w  e.  A  ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
74, 6bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
87exbii 1592 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w  e.  A  E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
93, 8bitri 241 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
109exbii 1592 . . . . 5  |-  ( E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  E. w  e.  A  ph ) )
112, 10bitr2i 242 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph )  <->  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
1211abbii 2548 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) }  =  {
v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph ) }
131, 12eqtri 2456 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) }
14 oprabrexex2.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
15 df-oprab 6085 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }
16 oprabrexex2.2 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
1715, 16eqeltrri 2507 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1814, 17abrexex2 6001 . 2  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1913, 18eqeltri 2506 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   <.cop 3817   {coprab 6082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-oprab 6085
  Copyright terms: Public domain W3C validator