MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabss Unicode version

Theorem oprabss 6098
Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
oprabss  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss
StepHypRef Expression
1 reloprab 6061 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 relssdmrn 5330 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
4 reldmoprab 6097 . . . 4  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 df-rel 4825 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V ) )
64, 5mpbi 200 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  ( _V  X.  _V )
7 ssv 3311 . . 3  |-  ran  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  _V
8 xpss12 4921 . . 3  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )  /\  ran  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  _V )  ->  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
96, 7, 8mp2an 654 . 2  |-  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
103, 9sstri 3300 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   _Vcvv 2899    C_ wss 3263    X. cxp 4816   dom cdm 4818   ran crn 4819   Rel wrel 4823   {coprab 6021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-br 4154  df-opab 4208  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-dm 4828  df-rn 4829  df-oprab 6024
  Copyright terms: Public domain W3C validator