Theorem oprabval2 4034

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval2.1	|- S e. V
oprabval2.2	|- (x = A -> R = G)
oprabval2.3	|- (y = B -> G = S)
oprabval2.4	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. C /\ y e. D) /\ z = R)}

Assertion

Ref	Expression
oprabval2	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,D,y,z   x,G   z,R   y,S,z

Proof of Theorem oprabval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabval2.1	. 2 |- S e. V
2		oprabval2.2	. . 3 |- (x = A -> R = G)
3		oprabval2.3	. . 3 |- (y = B -> G = S)
4		oprabval2.4	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. C /\ y e. D) /\ z = R)}
5	2, 3, 4	oprabval2g 4033	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D /\ S e. V) -> (AFB) = S)
6	1, 5	mp3an3 907	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  {copab2 3970

This theorem is referenced by:  oprabval5 4035  oav 4156  omv 4157  oev 4159  genpv 5114  subvalt 5369  divval 5716  ioovalt 6367  iocvalt 6376  icovalt 6377  iccvalt 6378  fzvalt 6470  expvalt 6571  bcvalt 6958  acdc3lem 7487  acdc2lem1 7489  acdc5lem1 7492  acdclem 7495  acdcALT 7497  ruclem15 7525  cnfval 7753  metxpdval 7826  dscmet 7915  bcthlem15 8010  grpdivval 8078  ipval 8349  lnoval 8409  nmofval 8421  bloval 8437  0ofval 8443  ajfval 8465  hvsubvalt 8881  shsumvalt 9272  sshjvalt 9315  sshjval3t 9321  hosmvalt 9506  hommvalt 9507  hodmvalt 9508  hfsmvalt 9509  hfmmvalt 9510  kbvalt 9871  elgiso 10393  subsp 10540  ishomb 10687

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972

Copyright terms: Public domain