MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprssdm Unicode version

Theorem oprssdm 6002
Description: Domain of closure of an operation. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
oprssdm.1  |-  -.  (/)  e.  S
oprssdm.2  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x F y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
oprssdm  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y

Proof of Theorem oprssdm
StepHypRef Expression
1 relxp 4794 . 2  |-  Rel  ( S  X.  S )
2 opelxp 4719 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )
3 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
4 oprssdm.2 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x F y )  e.  S )
53, 4syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S )
6 oprssdm.1 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  S
7 ndmfv 5552 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  (/) )
87eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
96, 8mtbiri 294 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  -.  ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S )
109con4i 122 . . . 4  |-  ( ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
115, 10syl 15 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
122, 11sylbi 187 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
131, 12relssi 4778 1  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  dmaddsr  8707  dmmulsr  8708  axaddf  8767  axmulf  8768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861
  Copyright terms: Public domain W3C validator