MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprssdm Structured version   Unicode version

Theorem oprssdm 6228
Description: Domain of closure of an operation. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
oprssdm.1  |-  -.  (/)  e.  S
oprssdm.2  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x F y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
oprssdm  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y

Proof of Theorem oprssdm
StepHypRef Expression
1 relxp 4983 . 2  |-  Rel  ( S  X.  S )
2 opelxp 4908 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )
3 df-ov 6084 . . . . 5  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
4 oprssdm.2 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x F y )  e.  S )
53, 4syl5eqelr 2521 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S )
6 oprssdm.1 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  S
7 ndmfv 5755 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  (/) )
87eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
96, 8mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  -.  ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S )
109con4i 124 . . . 4  |-  ( ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
115, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
122, 11sylbi 188 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
131, 12relssi 4967 1  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081
This theorem is referenced by:  dmaddsr  8960  dmmulsr  8961  axaddf  9020  axmulf  9021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084
  Copyright terms: Public domain W3C validator