Theorem oprvalres 4033

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprvalres	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A(F |` (C X. D))B) = (AFB))

Proof of Theorem oprvalres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3217	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))
2		fvres 3734	. . 3 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> ((F |` (C X. D))` <.A, B>.) = (F` <.A, B>.))
3	1, 2	syl 10	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((F |` (C X. D))` <.A, B>.) = (F` <.A, B>.))
4		df-opr 3965	. 2 |- (A(F |` (C X. D))B) = ((F |` (C X. D))` <.A, B>.)
5		df-opr 3965	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
6	3, 4, 5	3eqtr4g 1531	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A(F |` (C X. D))B) = (AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  oprssoprval 4034  mulnzcnopr 5702  metreslem 7822  metcnss 7898  metcnss2 7899  cncfmet 7905  lmss 7953  caussi 7954  causs 7955  subgopr 8118  issubgi 8122  ablmul 8131  mulid 8132  ghgrpilem1 8133  sspgval 8388  sspsval 8390  sspmlem 8391  shftefif1olem 8741  hhssabl 9132  hhssnv 9134  hhssmetdval 9149

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain