HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Unicode version

Theorem opsqrlem1 23493
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem1.2  |-  ( normop `  T )  e.  RR
opsqrlem1.3  |-  0hop  <_op  T
opsqrlem1.4  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
opsqrlem1.5  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Distinct variable group:    v, u, T
Allowed substitution hints:    R( v, u)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.5 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
2 opsqrlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
HrmOp
3 hmopf 23227 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  T : ~H
--> ~H
5 nmopge0 23264 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( normop `  T )
7 opsqrlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  RR
87sqrcli 12104 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR )
96, 8ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR
10 hmopm 23374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp )
119, 10mpan 652 . . . . . 6  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
1211ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
137sqrge0i 12109 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )
146, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) )
15 leopmuli 23486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  (
0  <_  ( sqr `  ( normop `  T )
)  /\  0hop  <_op  u
) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1614, 15mpanr1 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  0hop  <_op  u
)  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
179, 16mpanl1 662 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op 
u )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1817ad2ant2lr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
19 hmopf 23227 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u : ~H
--> ~H )
209recni 9037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC
21 homulcl 23112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2220, 21mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u : ~H --> ~H  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
) : ~H --> ~H )
24 homco1 23154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H  /\  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2520, 24mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2619, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
27 hmoplin 23295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u  e.  LinOp
)
28 homco2 23330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u  e. 
LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )
)  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
2920, 28mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3027, 19, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3130oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  u ) ) ) )
327sqrthi 12103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T
) ) )  =  ( normop `  T )
)
336, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )  =  ( normop `  T
)
3433oveq1i 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )
35 fco 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )
3619, 19, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  u ) : ~H --> ~H )
37 homulass 23155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC  /\  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  x.  ( sqr `  ( normop `  T )
) )  .op  (
u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3820, 20, 37mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  o.  u ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3936, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
4034, 39syl5reqr 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4126, 31, 403eqtrd 2425 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4241ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
43 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  R )
44 opsqrlem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
4543, 44syl6eq 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .op  T
) )
4645oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
( normop `  T )  .op  ( u  o.  u
) )  =  ( ( normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
) )
47 hmoplin 23295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
482, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e. 
LinOp
49 nmlnopne0 23352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop )
517recni 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5251recidzi 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5350, 52sylbir 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5453oveq1d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( 1  .op  T
) )
557rerecclzi 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5650, 55sylbir 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5756recnd 9049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
58 homulass 23155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
5951, 4, 58mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  ->  ( (
( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
61 homulid2 23153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  T )  =  T )
624, 61mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1 
.op  T )  =  T )
6354, 60, 623eqtr3d 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
)  =  T )
6446, 63sylan9eqr 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  =/=  0hop  /\  (
u  o.  u )  =  R )  -> 
( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )  =  T )
6564adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( normop `  T )  .op  (
u  o.  u ) )  =  T )
6642, 65eqtrd 2421 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
6766adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
68 breq2 4159 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( 0hop  <_op  v  <->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
69 coeq1 4972 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  v
) )
70 coeq2 4973 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  v )  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7169, 70eqtrd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7271eqeq1d 2397 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( v  o.  v )  =  T  <-> 
( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )
7368, 72anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T )  <-> 
( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) ) )
7473rspcev 2997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) )
7512, 18, 67, 74syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
7675exp31 588 . . 3  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( 0hop  <_op  u  /\  (
u  o.  u )  =  R )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) ) ) )
7776rexlimdv 2774 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u )  =  R )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) ) )
781, 77mpd 15 1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   E.wrex 2652   class class class wbr 4155    o. ccom 4824   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930    <_ cle 9056    / cdiv 9611   sqrcsqr 11967   ~Hchil 22272    .op chot 22292   0hopch0o 22296   normopcnop 22298   LinOpclo 22300   HrmOpcho 22303    <_op cleo 22311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvmulass 22360  ax-hvdistr1 22361  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363  ax-hfi 22431  ax-his1 22434  ax-his2 22435  ax-his3 22436  ax-his4 22437  ax-hcompl 22554
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-lm 17217  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-subgo 21740  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930  df-dip 22047  df-ssp 22071  df-lno 22095  df-nmoo 22096  df-0o 22098  df-ph 22164  df-cbn 22215  df-hnorm 22321  df-hba 22322  df-hvsub 22324  df-hlim 22325  df-hcau 22326  df-sh 22559  df-ch 22574  df-oc 22604  df-ch0 22605  df-shs 22660  df-pjh 22747  df-hosum 23083  df-homul 23084  df-hodif 23085  df-h0op 23101  df-nmop 23192  df-lnop 23194  df-hmop 23197  df-leop 23205
  Copyright terms: Public domain W3C validator