HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem opsqrlem5 23647
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem2.2  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
opsqrlem2.3  |-  F  =  seq  1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
Assertion
Ref Expression
opsqrlem5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( F `
 N )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 N )  o.  ( F `  N
) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T
Allowed substitution hints:    S( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem opsqrlem5
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10522 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 seqp1 11338 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 ( S , 
( NN  X.  { 0hop } ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq  1 ( S ,  ( NN 
X.  { 0hop } ) ) `  N ) S ( ( NN 
X.  { 0hop } ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
31, 2sylbi 188 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 ( S , 
( NN  X.  { 0hop } ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq  1 ( S ,  ( NN 
X.  { 0hop } ) ) `  N ) S ( ( NN 
X.  { 0hop } ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
4 opsqrlem2.3 . . . 4  |-  F  =  seq  1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
54fveq1i 5729 . . 3  |-  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  1 ( S ,  ( NN 
X.  { 0hop } ) ) `  ( N  +  1 ) )
64fveq1i 5729 . . . 4  |-  ( F `
 N )  =  (  seq  1 ( S ,  ( NN 
X.  { 0hop } ) ) `  N )
76oveq1i 6091 . . 3  |-  ( ( F `  N ) S ( ( NN 
X.  { 0hop } ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  1 ( S , 
( NN  X.  { 0hop } ) ) `  N ) S ( ( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) ) )
83, 5, 73eqtr4g 2493 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( F `
 N ) S ( ( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1
) ) ) )
9 opsqrlem2.1 . . . . 5  |-  T  e. 
HrmOp
10 opsqrlem2.2 . . . . 5  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
119, 10, 4opsqrlem4 23646 . . . 4  |-  F : NN
--> HrmOp
1211ffvelrni 5869 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  e.  HrmOp )
13 peano2nn 10012 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
14 0hmop 23486 . . . . . . 7  |-  0hop  e.  HrmOp
1514elexi 2965 . . . . . 6  |-  0hop  e.  _V
1615fvconst2 5947 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) )  =  0hop )
1713, 16syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) )  =  0hop )
1817, 14syl6eqel 2524 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) )  e.  HrmOp )
199, 10, 4opsqrlem3 23645 . . 3  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  HrmOp  /\  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) )  e.  HrmOp )  -> 
( ( F `  N ) S ( ( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  N
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  N )  o.  ( F `  N )
) ) ) ) )
2012, 18, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  N
) S ( ( NN  X.  { 0hop } ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  N ) 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  N )  o.  ( F `  N ) ) ) ) ) )
218, 20eqtrd 2468 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( F `
 N )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 N )  o.  ( F `  N
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814    X. cxp 4876    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1c1 8991    + caddc 8993    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323    +op chos 22441    .op chot 22442    -op chod 22443   0hopch0o 22446   HrmOpcho 22453
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  23648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587  ax-hcompl 22704
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-dip 22197  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-hlim 22475  df-hcau 22476  df-sh 22709  df-ch 22724  df-oc 22754  df-ch0 22755  df-shs 22810  df-pjh 22897  df-hosum 23233  df-homul 23234  df-hodif 23235  df-h0op 23251  df-hmop 23347
  Copyright terms: Public domain W3C validator