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Theorem opsqrlem6 22725
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem2.2  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
opsqrlem2.3  |-  F  =  seq  1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
opsqrlem6.4  |-  T  <_op  Iop
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
Distinct variable group:    x, y, T
Allowed substitution hints:    S( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . 3  |-  ( j  =  1  ->  ( F `  j )  =  ( F ` 
1 ) )
21breq1d 4033 . 2  |-  ( j  =  1  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  1 )  <_op  Iop  ) )
3 fveq2 5525 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
43breq1d 4033 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_op  Iop  )
)
5 fveq2 5525 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( F `  j )  =  ( F `  N ) )
65breq1d 4033 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
)
7 opsqrlem2.1 . . . 4  |-  T  e. 
HrmOp
8 opsqrlem2.2 . . . 4  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
9 opsqrlem2.3 . . . 4  |-  F  =  seq  1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
107, 8, 9opsqrlem2 22721 . . 3  |-  ( F `
 1 )  = 
0hop
11 idleop 22711 . . 3  |-  0hop  <_op  Iop
1210, 11eqbrtri 4042 . 2  |-  ( F `
 1 )  <_op  Iop
13 idhmop 22562 . . . . . . . 8  |-  Iop  e.  HrmOp
147, 8, 9opsqrlem4 22723 . . . . . . . . 9  |-  F : NN
--> HrmOp
1514ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  HrmOp )
16 hmopd 22602 . . . . . . . 8  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  ( F `  k )  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )
1713, 15, 16sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )
19 hmopco 22603 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp  /\  ( (  Iop 
-op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) )  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp )
2018, 19mp3an3 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp )
2117, 17, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp )
22 leopsq 22709 . . . . . . 7  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp  ->  0hop  <_op  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )
2317, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) ) )
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8  |-  T  <_op  Iop
25 leop3 22705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  Iop  e.  HrmOp )  ->  ( T  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op 
T ) ) )
267, 13, 25mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( T 
<_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op 
T ) )
2724, 26mpbi 199 . . . . . . 7  |-  0hop  <_op  (  Iop  -op  T )
28 hmopd 22602 . . . . . . . . 9  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  T  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  T )  e. 
HrmOp )
2913, 7, 28mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  (  Iop 
-op  T )  e. 
HrmOp
30 leopadd 22712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  Iop 
-op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  T
)  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  /\  0hop  <_op 
(  Iop  -op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
3129, 30mpanl2 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  /\  0hop  <_op  (  Iop 
-op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
3227, 31mpanr2 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) ) )  ->  0hop  <_op  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  +op  (  Iop  -op  T ) ) )
3321, 23, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
34 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
35 hmopf 22454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k )  e.  HrmOp  ->  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
37 homulcl 22339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
3834, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )
39 hmopf 22454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
407, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
41 fco 5398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
4236, 36, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) : ~H --> ~H )
43 hosubcl 22353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H )
4440, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) : ~H --> ~H )
45 hmopf 22454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  Iop 
e.  HrmOp  ->  Iop  : ~H --> ~H )
4613, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  Iop  : ~H
--> ~H
47 homulcl 22339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H )
4834, 46, 47mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
.op  Iop  ) : ~H --> ~H
49 hosubsub4 22398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
5048, 49mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
5138, 44, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
52 hosubcl 22353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )
5342, 38, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )
54 hoadd32 22363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  =  ( (  Iop 
+op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
5546, 46, 54mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  =  ( (  Iop 
+op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
5653, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( (  Iop  +op  Iop  )  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) )
57 ho2times 22399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  Iop 
: ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  Iop  )  =  (  Iop  +op  Iop  ) )
5846, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 
.op  Iop  )  =  (  Iop  +op  Iop  )
5958oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  =  ( (  Iop  +op  Iop  )  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )
6056, 59syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) )
61 hoaddsubass 22395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6248, 61mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6342, 38, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6460, 63eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )
6564oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  -op  T ) )
66 hoaddcl 22338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) : ~H --> ~H )
6746, 53, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) : ~H --> ~H )
68 hoaddsubass 22395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) : ~H --> ~H  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( (  Iop 
+op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop 
+op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) )  +op  (  Iop  -op  T )
) )
6946, 40, 68mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  Iop  +op  ( (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
7067, 69syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
71 hoaddcl 22338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H )
7248, 42, 71sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) : ~H --> ~H )
73 hosubsub4 22398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7440, 73mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7572, 38, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7665, 70, 753eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
77 hosubadd4 22394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k
) ) : ~H --> ~H )  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
)  ->  ( (
( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  -op  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7840, 77mpanr1 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k
) ) : ~H --> ~H )  /\  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7948, 78mpanl1 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
8038, 42, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
8176, 80eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )
82 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
8334, 82reccli 9490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
84 homulcl 22339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )
8583, 44, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) : ~H --> ~H )
86 hoadddi 22383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )
8734, 86mp3an1 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )
8836, 85, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( 2 
.op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) ) )
8934, 82recidi 9491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
9089oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( 1  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )
91 homulass 22382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
9234, 83, 91mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
9344, 92syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
94 homulid2 22380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
9544, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )
9690, 93, 953eqtr3a 2339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )  =  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
9796oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( 2 
.op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k
) )  +op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) )
9888, 97eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )
9998oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( ( 2 
.op  ( F `  k ) )  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) )
10051, 81, 993eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) ) )
101 hoaddcl 22338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )
10236, 85, 101syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )
103 hosubdi 22388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
10434, 46, 103mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
105102, 104syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) ) )
106100, 105eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
107 hosubcl 22353 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  (  Iop  -op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
10846, 36, 107sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )
109 hocsubdir 22365 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) ) )
11046, 109mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) ) )
11136, 108, 110syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) ) )
112 hmoplin 22522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  Iop 
e.  HrmOp  ->  Iop  e.  LinOp )
11313, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Iop  e.  LinOp
114 hoddi 22570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  Iop  e.  LinOp  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `
 k ) ) ) )
115113, 46, 114mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  (  Iop  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `
 k ) ) ) )
11636, 115syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop  o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `  k ) ) ) )
11746hoid1i 22369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  Iop 
o.  Iop  )  =  Iop
118117a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  Iop  )  =  Iop  )
119 hoico2 22337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  (  Iop  o.  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
12036, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
121118, 120oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )
122116, 121eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )
123 hmoplin 22522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k )  e.  HrmOp  ->  ( F `  k )  e.  LinOp )
12415, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  LinOp )
125 hoddi 22570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  LinOp  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( F `  k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
12646, 125mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  LinOp  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( F `  k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
127124, 36, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
128 hoico1 22336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  ( ( F `  k
)  o.  Iop  )  =  ( F `  k ) )
12936, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  Iop  )  =  ( F `  k ) )
130129oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )
131127, 130eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
132122, 131oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  -op  ( ( F `  k )  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) )
13336, 46jctil 523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
)
134 hosubadd4 22394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  /\  (
( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
)  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  -op  ( ( F `  k )  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )  =  ( (  Iop  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( F `  k ) 
+op  ( F `  k ) ) ) )
135133, 36, 42, 134syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  -op  ( ( F `
 k )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
136132, 135eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
137 ho2times 22399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  +op  ( F `  k ) ) )
13836, 137syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k )  +op  ( F `  k )
) )
139138oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
140 hoaddsubass 22395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) ) )
14146, 140mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) ) )
14242, 38, 141syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  =  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
143136, 139, 1423eqtr2d 2321 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
144111, 143eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) )
145144oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
1467, 8, 9opsqrlem5 22724 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
147146oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  (  Iop  -op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )
148147oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
149106, 145, 1483eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
15033, 149breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
151 peano2nn 9758 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15214ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )
153151, 152syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )
154 hmopd 22602 . . . . . 6  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp )
15513, 153, 154sylancr 644 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp )
156 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
157 2pos 9828 . . . . . 6  |-  0  <  2
158 leopmul 22714 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp  /\  0  <  2
)  ->  ( 0hop  <_op 
(  Iop  -op  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
159156, 157, 158mp3an13 1268 . . . . 5  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp  ->  ( 0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
160155, 159syl 15 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( 0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  ( 2 
.op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
161150, 160mpbird 223 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
162 leop3 22705 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  HrmOp  /\  Iop  e.  HrmOp )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
163153, 13, 162sylancl 643 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
164161, 163mpbird 223 . 2  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) ) 
<_op  Iop  )
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 9767 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795    seq cseq 11046   ~Hchil 21499    +op chos 21518    .op chot 21519    -op chod 21520   0hopch0o 21523    Iop chio 21524   LinOpclo 21527   HrmOpcho 21530    <_op cleo 21538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-pjh 21974  df-hosum 22310  df-homul 22311  df-hodif 22312  df-h0op 22328  df-iop 22329  df-lnop 22421  df-hmop 22424  df-leop 22432
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