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Theorem opsqrlem6 22780
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem2.2  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
opsqrlem2.3  |-  F  =  seq  1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
opsqrlem6.4  |-  T  <_op  Iop
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
Distinct variable group:    x, y, T
Allowed substitution hints:    S( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5563 . . 3  |-  ( j  =  1  ->  ( F `  j )  =  ( F ` 
1 ) )
21breq1d 4070 . 2  |-  ( j  =  1  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  1 )  <_op  Iop  ) )
3 fveq2 5563 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
43breq1d 4070 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_op  Iop  )
)
5 fveq2 5563 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( F `  j )  =  ( F `  N ) )
65breq1d 4070 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
)
7 opsqrlem2.1 . . . 4  |-  T  e. 
HrmOp
8 opsqrlem2.2 . . . 4  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
9 opsqrlem2.3 . . . 4  |-  F  =  seq  1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
107, 8, 9opsqrlem2 22776 . . 3  |-  ( F `
 1 )  = 
0hop
11 idleop 22766 . . 3  |-  0hop  <_op  Iop
1210, 11eqbrtri 4079 . 2  |-  ( F `
 1 )  <_op  Iop
13 idhmop 22617 . . . . . . . 8  |-  Iop  e.  HrmOp
147, 8, 9opsqrlem4 22778 . . . . . . . . 9  |-  F : NN
--> HrmOp
1514ffvelrni 5702 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  HrmOp )
16 hmopd 22657 . . . . . . . 8  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  ( F `  k )  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )
1713, 15, 16sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )
18 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )
19 hmopco 22658 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp  /\  ( (  Iop 
-op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) )  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp )
2018, 19mp3an3 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp )
2117, 17, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp )
22 leopsq 22764 . . . . . . 7  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp  ->  0hop  <_op  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )
2317, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) ) )
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8  |-  T  <_op  Iop
25 leop3 22760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  Iop  e.  HrmOp )  ->  ( T  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op 
T ) ) )
267, 13, 25mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( T 
<_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op 
T ) )
2724, 26mpbi 199 . . . . . . 7  |-  0hop  <_op  (  Iop  -op  T )
28 hmopd 22657 . . . . . . . . 9  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  T  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  T )  e. 
HrmOp )
2913, 7, 28mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  (  Iop 
-op  T )  e. 
HrmOp
30 leopadd 22767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  Iop 
-op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  T
)  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  /\  0hop  <_op 
(  Iop  -op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
3129, 30mpanl2 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  /\  0hop  <_op  (  Iop 
-op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
3227, 31mpanr2 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) ) )  ->  0hop  <_op  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  +op  (  Iop  -op  T ) ) )
3321, 23, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
34 2cn 9861 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
35 hmopf 22509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k )  e.  HrmOp  ->  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
37 homulcl 22394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
3834, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )
39 hmopf 22509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
407, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
41 fco 5436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
4236, 36, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) : ~H --> ~H )
43 hosubcl 22408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H )
4440, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) : ~H --> ~H )
45 hmopf 22509 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  Iop 
e.  HrmOp  ->  Iop  : ~H --> ~H )
4613, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  Iop  : ~H
--> ~H
47 homulcl 22394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H )
4834, 46, 47mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
.op  Iop  ) : ~H --> ~H
49 hosubsub4 22453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
5048, 49mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
5138, 44, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
52 hosubcl 22408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )
5342, 38, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )
54 hoadd32 22418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  =  ( (  Iop 
+op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
5546, 46, 54mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  =  ( (  Iop 
+op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
5653, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( (  Iop  +op  Iop  )  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) )
57 ho2times 22454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  Iop 
: ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  Iop  )  =  (  Iop  +op  Iop  ) )
5846, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 
.op  Iop  )  =  (  Iop  +op  Iop  )
5958oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  =  ( (  Iop  +op  Iop  )  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )
6056, 59syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) )
61 hoaddsubass 22450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6248, 61mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6342, 38, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6460, 63eqtr4d 2351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )
6564oveq1d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  -op  T ) )
66 hoaddcl 22393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) : ~H --> ~H )
6746, 53, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) : ~H --> ~H )
68 hoaddsubass 22450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) : ~H --> ~H  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( (  Iop 
+op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop 
+op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) )  +op  (  Iop  -op  T )
) )
6946, 40, 68mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  Iop  +op  ( (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
7067, 69syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
71 hoaddcl 22393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H )
7248, 42, 71sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) : ~H --> ~H )
73 hosubsub4 22453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7440, 73mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7572, 38, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7665, 70, 753eqtr3d 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
77 hosubadd4 22449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k
) ) : ~H --> ~H )  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
)  ->  ( (
( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  -op  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7840, 77mpanr1 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k
) ) : ~H --> ~H )  /\  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7948, 78mpanl1 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
8038, 42, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
8176, 80eqtr4d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )
82 2ne0 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
8334, 82reccli 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
84 homulcl 22394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )
8583, 44, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) : ~H --> ~H )
86 hoadddi 22438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )
8734, 86mp3an1 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )
8836, 85, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( 2 
.op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) ) )
8934, 82recidi 9536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
9089oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( 1  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )
91 homulass 22437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
9234, 83, 91mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
9344, 92syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
94 homulid2 22435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
9544, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )
9690, 93, 953eqtr3a 2372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )  =  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
9796oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( 2 
.op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k
) )  +op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) )
9888, 97eqtrd 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )
9998oveq2d 5916 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( ( 2 
.op  ( F `  k ) )  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) )
10051, 81, 993eqtr4d 2358 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) ) )
101 hoaddcl 22393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )
10236, 85, 101syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )
103 hosubdi 22443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
10434, 46, 103mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
105102, 104syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) ) )
106100, 105eqtr4d 2351 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
107 hosubcl 22408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  (  Iop  -op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
10846, 36, 107sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )
109 hocsubdir 22420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) ) )
11046, 109mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) ) )
11136, 108, 110syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) ) )
112 hmoplin 22577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  Iop 
e.  HrmOp  ->  Iop  e.  LinOp )
11313, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Iop  e.  LinOp
114 hoddi 22625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  Iop  e.  LinOp  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `
 k ) ) ) )
115113, 46, 114mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  (  Iop  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `
 k ) ) ) )
11636, 115syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop  o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `  k ) ) ) )
11746hoid1i 22424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  Iop 
o.  Iop  )  =  Iop
118117a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  Iop  )  =  Iop  )
119 hoico2 22392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  (  Iop  o.  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
12036, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
121118, 120oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )
122116, 121eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )
123 hmoplin 22577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k )  e.  HrmOp  ->  ( F `  k )  e.  LinOp )
12415, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  LinOp )
125 hoddi 22625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  LinOp  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( F `  k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
12646, 125mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  LinOp  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( F `  k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
127124, 36, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
128 hoico1 22391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  ( ( F `  k
)  o.  Iop  )  =  ( F `  k ) )
12936, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  Iop  )  =  ( F `  k ) )
130129oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )
131127, 130eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
132122, 131oveq12d 5918 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  -op  ( ( F `  k )  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) )
13336, 46jctil 523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
)
134 hosubadd4 22449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  /\  (
( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
)  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  -op  ( ( F `  k )  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )  =  ( (  Iop  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( F `  k ) 
+op  ( F `  k ) ) ) )
135133, 36, 42, 134syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  -op  ( ( F `
 k )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
136132, 135eqtrd 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
137 ho2times 22454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  +op  ( F `  k ) ) )
13836, 137syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k )  +op  ( F `  k )
) )
139138oveq2d 5916 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
140 hoaddsubass 22450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) ) )
14146, 140mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) ) )
14242, 38, 141syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  =  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
143136, 139, 1423eqtr2d 2354 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
144111, 143eqtrd 2348 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) )
145144oveq1d 5915 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
1467, 8, 9opsqrlem5 22779 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
147146oveq2d 5916 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  (  Iop  -op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )
148147oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
149106, 145, 1483eqtr4d 2358 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
15033, 149breqtrd 4084 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
151 peano2nn 9803 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15214ffvelrni 5702 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )
153151, 152syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )
154 hmopd 22657 . . . . . 6  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp )
15513, 153, 154sylancr 644 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp )
156 2re 9860 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
157 2pos 9873 . . . . . 6  |-  0  <  2
158 leopmul 22769 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp  /\  0  <  2
)  ->  ( 0hop  <_op 
(  Iop  -op  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
159156, 157, 158mp3an13 1268 . . . . 5  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp  ->  ( 0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
160155, 159syl 15 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( 0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  ( 2 
.op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
161150, 160mpbird 223 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
162 leop3 22760 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  HrmOp  /\  Iop  e.  HrmOp )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
163153, 13, 162sylancl 643 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
164161, 163mpbird 223 . 2  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) ) 
<_op  Iop  )
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 9812 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {csn 3674   class class class wbr 4060    X. cxp 4724    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    < clt 8912    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840    seq cseq 11093   ~Hchil 21554    +op chos 21573    .op chot 21574    -op chod 21575   0hopch0o 21578    Iop chio 21579   LinOpclo 21582   HrmOpcho 21585    <_op cleo 21593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cc 8106  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862  ax-hilex 21634  ax-hfvadd 21635  ax-hvcom 21636  ax-hvass 21637  ax-hv0cl 21638  ax-hvaddid 21639  ax-hfvmul 21640  ax-hvmulid 21641  ax-hvmulass 21642  ax-hvdistr1 21643  ax-hvdistr2 21644  ax-hvmul0 21645  ax-hfi 21713  ax-his1 21716  ax-his2 21717  ax-his3 21718  ax-his4 21719  ax-hcompl 21836
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-lm 17015  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cfil 18734  df-cau 18735  df-cmet 18736  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ginv 20913  df-gdiv 20914  df-ablo 21002  df-subgo 21022  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-vs 21210  df-nmcv 21211  df-ims 21212  df-dip 21329  df-ssp 21353  df-ph 21446  df-cbn 21497  df-hnorm 21603  df-hba 21604  df-hvsub 21606  df-hlim 21607  df-hcau 21608  df-sh 21841  df-ch 21856  df-oc 21886  df-ch0 21887  df-shs 21942  df-pjh 22029  df-hosum 22365  df-homul 22366  df-hodif 22367  df-h0op 22383  df-iop 22384  df-lnop 22476  df-hmop 22479  df-leop 22487
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