Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem6 Structured version   Unicode version

Theorem opsqrlem6 23641
 Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1
opsqrlem2.2
opsqrlem2.3
opsqrlem6.4
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5721 . . 3
21breq1d 4215 . 2
3 fveq2 5721 . . 3
43breq1d 4215 . 2
5 fveq2 5721 . . 3
65breq1d 4215 . 2
7 opsqrlem2.1 . . . 4
8 opsqrlem2.2 . . . 4
9 opsqrlem2.3 . . . 4
107, 8, 9opsqrlem2 23637 . . 3
11 idleop 23627 . . 3
1210, 11eqbrtri 4224 . 2
13 idhmop 23478 . . . . . . . 8
147, 8, 9opsqrlem4 23639 . . . . . . . . 9
1514ffvelrni 5862 . . . . . . . 8
16 hmopd 23518 . . . . . . . 8
1713, 15, 16sylancr 645 . . . . . . 7
18 eqid 2436 . . . . . . . 8
19 hmopco 23519 . . . . . . . 8
2018, 19mp3an3 1268 . . . . . . 7
2117, 17, 20syl2anc 643 . . . . . 6
22 leopsq 23625 . . . . . . 7
2317, 22syl 16 . . . . . 6
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8
25 leop3 23621 . . . . . . . . 9
267, 13, 25mp2an 654 . . . . . . . 8
2724, 26mpbi 200 . . . . . . 7
28 hmopd 23518 . . . . . . . . 9
2913, 7, 28mp2an 654 . . . . . . . 8
30 leopadd 23628 . . . . . . . 8
3129, 30mpanl2 663 . . . . . . 7
3227, 31mpanr2 666 . . . . . 6
3321, 23, 32syl2anc 643 . . . . 5
34 2cn 10063 . . . . . . . . . 10
35 hmopf 23370 . . . . . . . . . . 11
3615, 35syl 16 . . . . . . . . . 10
37 homulcl 23255 . . . . . . . . . 10
3834, 36, 37sylancr 645 . . . . . . . . 9
39 hmopf 23370 . . . . . . . . . . 11
407, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
41 fco 5593 . . . . . . . . . . 11
4236, 36, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
43 hosubcl 23269 . . . . . . . . . 10
4440, 42, 43sylancr 645 . . . . . . . . 9
45 hmopf 23370 . . . . . . . . . . . 12
4613, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
47 homulcl 23255 . . . . . . . . . . 11
4834, 46, 47mp2an 654 . . . . . . . . . 10
49 hosubsub4 23314 . . . . . . . . . 10
5048, 49mp3an1 1266 . . . . . . . . 9
5138, 44, 50syl2anc 643 . . . . . . . 8
52 hosubcl 23269 . . . . . . . . . . . . . . 15
5342, 38, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
54 hoadd32 23279 . . . . . . . . . . . . . . 15
5546, 46, 54mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
57 ho2times 23315 . . . . . . . . . . . . . . 15
5846, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
5958oveq1i 6084 . . . . . . . . . . . . 13
6056, 59syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12
61 hoaddsubass 23311 . . . . . . . . . . . . . 14
6248, 61mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13
6342, 38, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . 11
6564oveq1d 6089 . . . . . . . . . 10
66 hoaddcl 23254 . . . . . . . . . . . 12
6746, 53, 66sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
68 hoaddsubass 23311 . . . . . . . . . . . 12
6946, 40, 68mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11
7067, 69syl 16 . . . . . . . . . 10
71 hoaddcl 23254 . . . . . . . . . . . 12
7248, 42, 71sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
73 hosubsub4 23314 . . . . . . . . . . . 12
7440, 73mp3an3 1268 . . . . . . . . . . 11
7572, 38, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
7665, 70, 753eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9
77 hosubadd4 23310 . . . . . . . . . . . 12
7840, 77mpanr1 665 . . . . . . . . . . 11
7948, 78mpanl1 662 . . . . . . . . . 10
8038, 42, 79syl2anc 643 . . . . . . . . 9
8176, 80eqtr4d 2471 . . . . . . . 8
82 2ne0 10076 . . . . . . . . . . . . 13
8334, 82reccli 9737 . . . . . . . . . . . 12
84 homulcl 23255 . . . . . . . . . . . 12
8583, 44, 84sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
86 hoadddi 23299 . . . . . . . . . . . 12
8734, 86mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11
8836, 85, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
8934, 82recidi 9738 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq1i 6084 . . . . . . . . . . . 12
91 homulass 23298 . . . . . . . . . . . . . 14
9234, 83, 91mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . 13
9344, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12
94 homulid2 23296 . . . . . . . . . . . . 13
9544, 94syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9690, 93, 953eqtr3a 2492 . . . . . . . . . . 11
9796oveq2d 6090 . . . . . . . . . 10
9888, 97eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
9998oveq2d 6090 . . . . . . . 8
10051, 81, 993eqtr4d 2478 . . . . . . 7
101 hoaddcl 23254 . . . . . . . . 9
10236, 85, 101syl2anc 643 . . . . . . . 8
103 hosubdi 23304 . . . . . . . . 9
10434, 46, 103mp3an12 1269 . . . . . . . 8
105102, 104syl 16 . . . . . . 7
106100, 105eqtr4d 2471 . . . . . 6
107 hosubcl 23269 . . . . . . . . . 10
10846, 36, 107sylancr 645 . . . . . . . . 9
109 hocsubdir 23281 . . . . . . . . . 10
11046, 109mp3an1 1266 . . . . . . . . 9
11136, 108, 110syl2anc 643 . . . . . . . 8
112 hmoplin 23438 . . . . . . . . . . . . . . 15
11313, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
114 hoddi 23486 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 46, 114mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . 13
11636, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11746hoid1i 23285 . . . . . . . . . . . . . 14
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
119 hoico2 23253 . . . . . . . . . . . . . 14
12036, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 120oveq12d 6092 . . . . . . . . . . . 12
122116, 121eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11
123 hmoplin 23438 . . . . . . . . . . . . . 14
12415, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
125 hoddi 23486 . . . . . . . . . . . . . 14
12646, 125mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . 13
127124, 36, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
128 hoico1 23252 . . . . . . . . . . . . . 14
12936, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
130129oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . 12
131127, 130eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11
132122, 131oveq12d 6092 . . . . . . . . . 10
13336, 46jctil 524 . . . . . . . . . . 11
134 hosubadd4 23310 . . . . . . . . . . 11
135133, 36, 42, 134syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10
136132, 135eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
137 ho2times 23315 . . . . . . . . . . 11
13836, 137syl 16 . . . . . . . . . 10
139138oveq2d 6090 . . . . . . . . 9
140 hoaddsubass 23311 . . . . . . . . . . 11
14146, 140mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10
14242, 38, 141syl2anc 643 . . . . . . . . 9
143136, 139, 1423eqtr2d 2474 . . . . . . . 8
144111, 143eqtrd 2468 . . . . . . 7
145144oveq1d 6089 . . . . . 6
1467, 8, 9opsqrlem5 23640 . . . . . . . 8
147146oveq2d 6090 . . . . . . 7
148147oveq2d 6090 . . . . . 6
149106, 145, 1483eqtr4d 2478 . . . . 5
15033, 149breqtrd 4229 . . . 4
151 peano2nn 10005 . . . . . . 7
15214ffvelrni 5862 . . . . . . 7
153151, 152syl 16 . . . . . 6
154 hmopd 23518 . . . . . 6
15513, 153, 154sylancr 645 . . . . 5
156 2re 10062 . . . . . 6
157 2pos 10075 . . . . . 6
158 leopmul 23630 . . . . . 6
159156, 157, 158mp3an13 1270 . . . . 5
160155, 159syl 16 . . . 4
161150, 160mpbird 224 . . 3
162 leop3 23621 . . . 4
163153, 13, 162sylancl 644 . . 3
164161, 163mpbird 224 . 2
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 10014 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  csn 3807   class class class wbr 4205   cxp 4869   ccom 4875  wf 5443  cfv 5447  (class class class)co 6074   cmpt2 6076  cc 8981  cr 8982  cc0 8983  c1 8984   caddc 8986   cmul 8988   clt 9113   cdiv 9670  cn 9993  c2 10042   cseq 11316  chil 22415   chos 22434   chot 22435   chod 22436  ch0o 22439   chio 22440  clo 22443  cho 22446   cleo 22454 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cc 8308  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063  ax-hilex 22495  ax-hfvadd 22496  ax-hvcom 22497  ax-hvass 22498  ax-hv0cl 22499  ax-hvaddid 22500  ax-hfvmul 22501  ax-hvmulid 22502  ax-hvmulass 22503  ax-hvdistr1 22504  ax-hvdistr2 22505  ax-hvmul0 22506  ax-hfi 22574  ax-his1 22577  ax-his2 22578  ax-his3 22579  ax-his4 22580  ax-hcompl 22697 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-omul 6722  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-acn 7822  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ioo 10913  df-ico 10915  df-icc 10916  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-rlim 12276  df-sum 12473  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-starv 13537  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-unif 13545  df-hom 13546  df-cco 13547  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-pt 13661  df-prds 13664  df-xrs 13719  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-qtop 13726  df-imas 13727  df-xps 13729  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-mulg 14808  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-fbas 16692  df-fg 16693  df-cnfld 16697  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cld 17076  df-ntr 17077  df-cls 17078  df-nei 17155  df-cn 17284  df-cnp 17285  df-lm 17286  df-haus 17372  df-tx 17587  df-hmeo 17780  df-fil 17871  df-fm 17963  df-flim 17964  df-flf 17965  df-xms 18343  df-ms 18344  df-tms 18345  df-cfil 19201  df-cau 19202  df-cmet 19203  df-grpo 21772  df-gid 21773  df-ginv 21774  df-gdiv 21775  df-ablo 21863  df-subgo 21883  df-vc 22018  df-nv 22064  df-va 22067  df-ba 22068  df-sm 22069  df-0v 22070  df-vs 22071  df-nmcv 22072  df-ims 22073  df-dip 22190  df-ssp 22214  df-ph 22307  df-cbn 22358  df-hnorm 22464  df-hba 22465  df-hvsub 22467  df-hlim 22468  df-hcau 22469  df-sh 22702  df-ch 22717  df-oc 22747  df-ch0 22748  df-shs 22803  df-pjh 22890  df-hosum 23226  df-homul 23227  df-hodif 23228  df-h0op 23244  df-iop 23245  df-lnop 23337  df-hmop 23340  df-leop 23348
 Copyright terms: Public domain W3C validator