MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Unicode version

Theorem opsrbaslem 16528
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrbas.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrbas.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrbaslem.1  |-  E  = Slot 
N
opsrbaslem.2  |-  N  e.  NN
opsrbaslem.3  |-  N  < 
10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrbas.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
4 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  I  e.  _V )
5 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  R  e.  _V )
6 opsrbas.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 16527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  O  =  ( S sSet  <.
( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
)
98fveq2d 5724 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  O
)  =  ( E `
 ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
) )
10 opsrbaslem.1 . . . . 5  |-  E  = Slot 
N
11 opsrbaslem.2 . . . . 5  |-  N  e.  NN
1210, 11ndxid 13480 . . . 4  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
1311nnrei 9999 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6  |-  N  < 
10
1513, 14ltneii 9176 . . . . 5  |-  N  =/= 
10
1610, 11ndxarg 13479 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =  N
17 plendx 13611 . . . . . 6  |-  ( le
`  ndx )  =  10
1816, 17neeq12i 2610 . . . . 5  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  N  =/=  10 )
1915, 18mpbir 201 . . . 4  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( le `  ndx )
2012, 19setsnid 13499 . . 3  |-  ( E `
 S )  =  ( E `  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  O ) >.
) )
219, 20syl6reqr 2486 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
22 fv01 5755 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  T )  =  (/)
2322eqcomi 2439 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
(/) `  T )
24 reldmpsr 16418 . . . . . . 7  |-  Rel  dom mPwSer
2524ovprc 6100 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
26 reldmopsr 16524 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom ordPwSer
2726ovprc 6100 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I ordPwSer  R )  =  (/) )
2827fveq1d 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )  =  ( (/) `  T
) )
2923, 25, 283eqtr4a 2493 . . . . 5  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3029adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3130, 1, 23eqtr4g 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  S  =  O )
3231fveq2d 5724 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( E `  S )  =  ( E `  O ) )
3321, 32pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   <.cop 3809   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    < clt 9110   NNcn 9990   10c10 10047   ndxcnx 13456   sSet csts 13457  Slot cslot 13458   lecple 13526   mPwSer cmps 16396   ordPwSer copws 16404
This theorem is referenced by:  opsrbas  16529  opsrplusg  16530  opsrmulr  16531  opsrvsca  16532  opsrsca  16533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-ltxr 9115  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ple 13539  df-psr 16407  df-opsr 16415
  Copyright terms: Public domain W3C validator