Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Unicode version

Theorem opsrbaslem 16528
 Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s mPwSer
opsrbas.o ordPwSer
opsrbas.t
opsrbaslem.1 Slot
opsrbaslem.2
opsrbaslem.3
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5 mPwSer
2 opsrbas.o . . . . 5 ordPwSer
3 eqid 2435 . . . . 5
4 simprl 733 . . . . 5
5 simprr 734 . . . . 5
6 opsrbas.t . . . . . 6
76adantr 452 . . . . 5
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 16527 . . . 4 sSet
98fveq2d 5724 . . 3 sSet
10 opsrbaslem.1 . . . . 5 Slot
11 opsrbaslem.2 . . . . 5
1210, 11ndxid 13480 . . . 4 Slot
1311nnrei 9999 . . . . . 6
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6
1513, 14ltneii 9176 . . . . 5
1610, 11ndxarg 13479 . . . . . 6
17 plendx 13611 . . . . . 6
1816, 17neeq12i 2610 . . . . 5
1915, 18mpbir 201 . . . 4
2012, 19setsnid 13499 . . 3 sSet
219, 20syl6reqr 2486 . 2
22 fv01 5755 . . . . . . 7
2322eqcomi 2439 . . . . . 6
24 reldmpsr 16418 . . . . . . 7 mPwSer
2524ovprc 6100 . . . . . 6 mPwSer
26 reldmopsr 16524 . . . . . . . 8 ordPwSer
2726ovprc 6100 . . . . . . 7 ordPwSer
2827fveq1d 5722 . . . . . 6 ordPwSer
2923, 25, 283eqtr4a 2493 . . . . 5 mPwSer ordPwSer
3029adantl 453 . . . 4 mPwSer ordPwSer
3130, 1, 23eqtr4g 2492 . . 3
3231fveq2d 5724 . 2
3321, 32pm2.61dan 767 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073   clt 9110  cn 9990  c10 10047  cnx 13456   sSet csts 13457  Slot cslot 13458  cple 13526   mPwSer cmps 16396   ordPwSer copws 16404 This theorem is referenced by:  opsrbas  16529  opsrplusg  16530  opsrmulr  16531  opsrvsca  16532  opsrsca  16533 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-ltxr 9115  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ple 13539  df-psr 16407  df-opsr 16415
 Copyright terms: Public domain W3C validator