MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Unicode version

Theorem opsrbaslem 16235
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrbas.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrbas.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrbaslem.1  |-  E  = Slot 
N
opsrbaslem.2  |-  N  e.  NN
opsrbaslem.3  |-  N  < 
10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrbas.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
4 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  I  e.  _V )
5 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  R  e.  _V )
6 opsrbas.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 16234 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  O  =  ( S sSet  <.
( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
)
98fveq2d 5545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  O
)  =  ( E `
 ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
) )
10 opsrbaslem.1 . . . . 5  |-  E  = Slot 
N
11 opsrbaslem.2 . . . . 5  |-  N  e.  NN
1210, 11ndxid 13185 . . . 4  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
1311nnrei 9771 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6  |-  N  < 
10
1513, 14ltneii 8947 . . . . 5  |-  N  =/= 
10
1610, 11ndxarg 13184 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =  N
17 plendx 13316 . . . . . 6  |-  ( le
`  ndx )  =  10
1816, 17neeq12i 2471 . . . . 5  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  N  =/=  10 )
1915, 18mpbir 200 . . . 4  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( le `  ndx )
2012, 19setsnid 13204 . . 3  |-  ( E `
 S )  =  ( E `  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  O ) >.
) )
219, 20syl6reqr 2347 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
22 fv01 5575 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  T )  =  (/)
2322eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
(/) `  T )
24 reldmpsr 16125 . . . . . . 7  |-  Rel  dom mPwSer
2524ovprc 5901 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
26 reldmopsr 16231 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom ordPwSer
2726ovprc 5901 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I ordPwSer  R )  =  (/) )
2827fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )  =  ( (/) `  T
) )
2923, 25, 283eqtr4a 2354 . . . . 5  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3029adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3130, 1, 23eqtr4g 2353 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  S  =  O )
3231fveq2d 5545 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( E `  S )  =  ( E `  O ) )
3321, 32pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    < clt 8883   NNcn 9762   10c10 9819   ndxcnx 13161   sSet csts 13162  Slot cslot 13163   lecple 13231   mPwSer cmps 16103   ordPwSer copws 16111
This theorem is referenced by:  opsrbas  16236  opsrplusg  16237  opsrmulr  16238  opsrvsca  16239  opsrsca  16240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ple 13244  df-psr 16114  df-opsr 16122
  Copyright terms: Public domain W3C validator