Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrle Structured version   Unicode version

Theorem opsrle 16536
 Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrle.s mPwSer
opsrle.o ordPwSer
opsrle.b
opsrle.q
opsrle.c bag
opsrle.d
opsrle.l
opsrle.t
Assertion
Ref Expression
opsrle
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,,,)   (,,)   ()   (,,,,)   (,,,,)   ()   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem opsrle
StepHypRef Expression
1 opsrle.s . . . . 5 mPwSer
2 opsrle.o . . . . 5 ordPwSer
3 opsrle.b . . . . 5
4 opsrle.q . . . . 5
5 opsrle.c . . . . 5 bag
6 opsrle.d . . . . 5
7 eqid 2436 . . . . 5
8 simprl 733 . . . . 5
9 simprr 734 . . . . 5
10 opsrle.t . . . . . 6
1110adantr 452 . . . . 5
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11opsrval 16535 . . . 4 sSet
1312fveq2d 5732 . . 3 sSet
14 opsrle.l . . 3
15 ovex 6106 . . . . 5 mPwSer
161, 15eqeltri 2506 . . . 4
17 fvex 5742 . . . . . . 7
183, 17eqeltri 2506 . . . . . 6
1918, 18xpex 4990 . . . . 5
20 vex 2959 . . . . . . . . 9
21 vex 2959 . . . . . . . . 9
2220, 21prss 3952 . . . . . . . 8
2322anbi1i 677 . . . . . . 7
2423opabbii 4272 . . . . . 6
25 opabssxp 4950 . . . . . 6
2624, 25eqsstr3i 3379 . . . . 5
2719, 26ssexi 4348 . . . 4
28 pleid 13622 . . . . 5 Slot
2928setsid 13508 . . . 4 sSet
3016, 27, 29mp2an 654 . . 3 sSet
3113, 14, 303eqtr4g 2493 . 2
32 reldmopsr 16534 . . . . . . . . . 10 ordPwSer
3332ovprc 6108 . . . . . . . . 9 ordPwSer
3433adantl 453 . . . . . . . 8 ordPwSer
3534fveq1d 5730 . . . . . . 7 ordPwSer
362, 35syl5eq 2480 . . . . . 6
37 fv01 5763 . . . . . 6
3836, 37syl6eq 2484 . . . . 5
3938fveq2d 5732 . . . 4
4028str0 13505 . . . 4
4139, 14, 403eqtr4g 2493 . . 3
42 reldmpsr 16428 . . . . . . . . . . 11 mPwSer
4342ovprc 6108 . . . . . . . . . 10 mPwSer
4443adantl 453 . . . . . . . . 9 mPwSer
451, 44syl5eq 2480 . . . . . . . 8
4645fveq2d 5732 . . . . . . 7
47 base0 13506 . . . . . . 7
4846, 3, 473eqtr4g 2493 . . . . . 6
4948xpeq2d 4902 . . . . 5
50 xp0 5291 . . . . 5
5149, 50syl6eq 2484 . . . 4
52 sseq0 3659 . . . 4
5326, 51, 52sylancr 645 . . 3
5441, 53eqtr4d 2471 . 2
5531, 54pm2.61dan 767 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  cpr 3815  cop 3817   class class class wbr 4212  copab 4265   cxp 4876  ccnv 4877  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cfn 7109  cn 10000  cn0 10221  cnx 13466   sSet csts 13467  cbs 13469  cple 13536  cplt 14398   mPwSer cmps 16406   bag cltb 16413   ordPwSer copws 16414 This theorem is referenced by:  opsrval2  16537  opsrtoslem1  16544 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ple 13549  df-psr 16417  df-opsr 16425
 Copyright terms: Public domain W3C validator