MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrso Unicode version

Theorem opsrso 16476
Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrso.l  |-  .<_  =  ( lt `  O )
opsrso.b  |-  B  =  ( Base `  O
)
Assertion
Ref Expression
opsrso  |-  ( ph  -> 
.<_  Or  B )

Proof of Theorem opsrso
StepHypRef Expression
1 opsrso.o . . . 4  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
2 opsrso.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 opsrso.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
4 opsrso.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
5 opsrso.w . . . 4  |-  ( ph  ->  T  We  I )
61, 2, 3, 4, 5opsrtos 16475 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )
7 opsrso.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  O
)
8 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
9 opsrso.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( lt `  O )
107, 8, 9tosso 14394 . . . 4  |-  ( O  e. Toset  ->  ( O  e. Toset  <->  ( 
.<_  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  ( le `  O ) ) ) )
1110ibi 233 . . 3  |-  ( O  e. Toset  ->  (  .<_  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  ( le `  O ) ) )
126, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  .<_  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  ( le `  O ) ) )
1312simpld 446 1  |-  ( ph  -> 
.<_  Or  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265    _I cid 4436    Or wor 4445    We wwe 4483    X. cxp 4818    |` cres 4822   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   lecple 13465   ltcplt 14327  Tosetctos 14391   ordPwSer copws 16343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-seqom 6643  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-oexp 6668  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-cnf 7552  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-hash 11548  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-poset 14332  df-plt 14344  df-toset 14392  df-psr 16346  df-ltbag 16353  df-opsr 16354
  Copyright terms: Public domain W3C validator