MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtos Structured version   Unicode version

Theorem opsrtos 16538
Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
opsrtos  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )

Proof of Theorem opsrtos
Dummy variables  x  y  w  z  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrso.o . 2  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
2 opsrso.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 opsrso.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
4 opsrso.t . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
5 opsrso.w . 2  |-  ( ph  ->  T  We  I )
6 eqid 2435 . 2  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
7 eqid 2435 . 2  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
8 eqid 2435 . 2  |-  ( lt
`  R )  =  ( lt `  R
)
9 eqid 2435 . 2  |-  ( T  <bag  I )  =  ( T  <bag  I )
10 eqid 2435 . 2  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
11 biid 228 . 2  |-  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
12 eqid 2435 . 2  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12opsrtoslem2 16537 1  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    We wwe 4532    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   lecple 13528   ltcplt 14390  Tosetctos 14454   mPwSer cmps 16398    <bag cltb 16405   ordPwSer copws 16406
This theorem is referenced by:  opsrso  16539  psr1tos  16579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-cnf 7609  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-toset 14455  df-psr 16409  df-ltbag 16416  df-opsr 16417
  Copyright terms: Public domain W3C validator