MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem1 Unicode version

Theorem opsrtoslem1 16225
Description: Lemma for opsrtos 16227. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrtoslem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrtoslem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
opsrtoslem.q  |-  .<  =  ( lt `  R )
opsrtoslem.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
opsrtoslem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
opsrtoslem.ps  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
opsrtoslem.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, w, y, z, C    w, h, x, y, z, I    ph, w, x, y, z    w, D, x, y, z    w,  .< , x, y, z    w, R, x, y, z    w, T, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    ps( x, y, z, w, h)    B( z, w, h)    C( h)    D( h)    R( h)    S( x, y, z, w, h)    .< ( h)    T( h)    .<_ ( x, y, z, w, h)    O( x, y, z, w, h)    V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem1
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrso.o . . 3  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 opsrtoslem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 opsrtoslem.q . . 3  |-  .<  =  ( lt `  R )
5 opsrtoslem.c . . 3  |-  C  =  ( T  <bag  I )
6 opsrtoslem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 opsrtoslem.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
8 opsrso.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8opsrle 16217 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } )
10 unopab 4095 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y } 
C_  B  /\  ps )  \/  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) ) }
11 inopab 4816 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) }
12 df-xp 4695 . . . . . 6  |-  ( B  X.  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) }
1312ineq2i 3367 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )
14 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
15 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1614, 15prss 3769 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  { x ,  y } 
C_  B )
1716anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) )
18 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
1917, 18bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) )
2019opabbii 4083 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) }
2111, 13, 203eqtr4i 2313 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }
22 opabresid 5003 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  B )
23 eqcom 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2423anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  x )
)
25 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2625biimpac 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  ->  y  e.  B )
2726pm4.71i 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
2824, 27bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
29 an32 773 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  =  y
) )
3016anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  =  y )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) )
3128, 29, 303bitri 262 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
)
3231opabbii 4083 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3322, 32eqtr3i 2305 . . . 4  |-  (  _I  |`  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3421, 33uneq12i 3327 . . 3  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )
35 opsrtoslem.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
3635orbi1i 506 . . . . . 6  |-  ( ( ps  \/  x  =  y )  <->  ( E. z  e.  D  (
( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  \/  x  =  y ) )
3736anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `
 z )  .< 
( y `  z
)  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) )
38 andi 837 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
3937, 38bitr3i 242 . . . 4  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
4039opabbii 4083 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
) }
4110, 34, 403eqtr4ri 2314 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )
429, 41syl6eq 2331 1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023   {copab 4076    _I cid 4304    We wwe 4351    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   lecple 13215   ltcplt 14075  Tosetctos 14139   mPwSer cmps 16087    <bag cltb 16094   ordPwSer copws 16095
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ple 13228  df-psr 16098  df-opsr 16106
  Copyright terms: Public domain W3C validator