MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Unicode version

Theorem opsrtoslem2 16545
Description: Lemma for opsrtos 16546. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrtoslem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrtoslem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
opsrtoslem.q  |-  .<  =  ( lt `  R )
opsrtoslem.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
opsrtoslem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
opsrtoslem.ps  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
opsrtoslem.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, w, y, z, C    w, h, x, y, z, I    ph, w, x, y, z    w, D, x, y, z    w,  .< , x, y, z    w, R, x, y, z    w, T, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    ps( x, y, z, w, h)    B( z, w, h)    C( h)    D( h)    R( h)    S( x, y, z, w, h)    .< ( h)    T( h)    .<_ ( x, y, z, w, h)    O( x, y, z, w, h)    V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2 ovex 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
32rabex 4354 . . . . . . . . 9  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
41, 3eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  D  e. 
_V
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
6 opsrtoslem.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( T  <bag  I )
7 opsrso.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 xpexg 4989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  I
)  e.  _V )
97, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  I
)  e.  _V )
10 opsrso.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
119, 10ssexd 4350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
12 opsrso.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  We  I )
136, 1, 7, 11, 12ltbwe 16533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  We  D )
14 opsrso.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
15 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
16 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
17 opsrtoslem.q . . . . . . . . . . 11  |-  .<  =  ( lt `  R )
1815, 16, 17tosso 14465 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Toset  ->  ( R  e. Toset  <->  ( 
.<  Or  ( Base `  R
)  /\  (  _I  |`  ( Base `  R
) )  C_  ( le `  R ) ) ) )
1918ibi 233 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. Toset  ->  (  .<  Or  ( Base `  R )  /\  (  _I  |`  ( Base `  R ) )  C_  ( le `  R ) ) )
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  .<  Or  ( Base `  R )  /\  (  _I  |`  ( Base `  R ) )  C_  ( le `  R ) ) )
2120simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .<  Or  ( Base `  R ) )
22 opsrtoslem.ps . . . . . . . . 9  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
2322opabbii 4272 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ps }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  D  (
( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2423wemapso 7520 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  _V  /\  C  We  D  /\  .<  Or  ( Base `  R
) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  ( ( Base `  R )  ^m  D ) )
255, 13, 21, 24syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ps }  Or  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
26 opsrtoslem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
27 opsrtoslem.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
2826, 15, 1, 27, 7psrbas 16443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
29 soeq2 4523 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  B  <->  {
<. x ,  y >.  |  ps }  Or  (
( Base `  R )  ^m  D ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  B  <->  { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  ( ( Base `  R )  ^m  D ) ) )
3125, 30mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ps }  Or  B )
32 soinxp 4942 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  Or  B  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B
)
3331, 32sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  Or  B )
34 opsrso.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
35 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
)  e.  _V
3634, 35eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  O  e. 
_V
37 opsrtoslem.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  O )
38 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  O )  =  ( lt `  O
)
3937, 38pltfval 14416 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lt `  O )  =  (  .<_  \  _I  )
)
4036, 39ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( lt
`  O )  =  (  .<_  \  _I  )
41 difundir 3594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) )  \  _I  )  =  ( ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  \  _I  )  u.  ( (  _I  |`  B )  \  _I  ) )
42 resss 5170 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  B )  C_  _I
43 ssdif0 3686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  B )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  B )  \  _I  )  =  (/) )
4442, 43mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  B )  \  _I  )  =  (/)
4544uneq2i 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  )  u.  (
(  _I  |`  B ) 
\  _I  ) )  =  ( ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  \  _I  )  u.  (/) )
46 un0 3652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  )  u.  (/) )  =  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  )
4741, 45, 463eqtri 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) )  \  _I  )  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) 
\  _I  )
4834, 7, 14, 10, 12, 26, 27, 17, 6, 1, 22, 37opsrtoslem1 16544 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
4948difeq1d 3464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .<_  \  _I  )  =  ( ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) ) 
\  _I  ) )
50 inss2 3562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) 
C_  ( B  X.  B )
51 relxp 4983 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ( B  X.  B )
52 relss 4963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( Rel  ( B  X.  B )  ->  Rel  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) ) ) )
5350, 51, 52mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Rel  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
55 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  _I  b  <->  <. a ,  b >.  e.  _I  )
56 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  b  e. 
_V
5756ideq 5025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  _I  b  <->  a  =  b )
5855, 57bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  _I  <->  a  =  b )
59 brin 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <-> 
( a { <. x ,  y >.  |  ps } a  /\  a
( B  X.  B
) a ) )
6059simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  ->  a ( B  X.  B ) a )
61 brxp 4909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a ( B  X.  B
) a  <->  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a ( B  X.  B
) a  ->  a  e.  B )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  ->  a  e.  B
)
64 sonr 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  Or  B  /\  a  e.  B )  ->  -.  a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a )
6564ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B  ->  ( a  e.  B  ->  -.  a ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a ) )
6633, 63, 65syl2im 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( a ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  ->  -.  a
( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a ) )
6766pm2.01d 163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  a ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a )
68 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  (
a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <-> 
a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) b ) )
69 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) b  <->  <. a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
7068, 69syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  (
a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <->  <. a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) ) )
7170notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <->  -.  <. a ,  b
>.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) ) )
7267, 71syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( a  =  b  ->  -.  <. a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) ) ) )
7358, 72syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  _I  ->  -.  <.
a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) ) )
7473con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  ->  -.  <. a ,  b
>.  e.  _I  ) )
75 opex 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
76 eldif 3330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( _V  \  _I  ) 
<->  ( <. a ,  b
>.  e.  _V  /\  -.  <.
a ,  b >.  e.  _I  ) )
7775, 76mpbiran 885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( _V  \  _I  ) 
<->  -.  <. a ,  b
>.  e.  _I  )
7874, 77syl6ibr 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  ->  <. a ,  b >.  e.  ( _V  \  _I  ) ) )
7954, 78relssdv 4968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  C_  ( _V  \  _I  )
)
80 disj2 3675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i 
_I  )  =  (/)  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  C_  ( _V  \  _I  ) )
8179, 80sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i 
_I  )  =  (/) )
82 disj3 3672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i 
_I  )  =  (/)  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  =  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  ) )
8381, 82sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  ) )
8447, 49, 833eqtr4a 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .<_  \  _I  )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
8540, 84syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( lt `  O
)  =  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
86 soeq1 4522 . . . . 5  |-  ( ( lt `  O )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  -> 
( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B
) )
8785, 86syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B
) )
8833, 87mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( lt `  O
)  Or  B )
8926, 34, 10opsrbas 16539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  O ) )
9027, 89syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
91 soeq2 4523 . . . 4  |-  ( B  =  ( Base `  O
)  ->  ( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( lt `  O )  Or  ( Base `  O ) ) )
9290, 91syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( lt `  O )  Or  ( Base `  O
) ) )
9388, 92mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( lt `  O
)  Or  ( Base `  O ) )
9490reseq2d 5146 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  ( Base `  O ) ) )
95 ssun2 3511 . . . 4  |-  (  _I  |`  B )  C_  (
( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) )
9694, 95syl6eqssr 3399 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  ( Base `  O ) ) 
C_  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
9796, 48sseqtr4d 3385 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  ( Base `  O ) ) 
C_  .<_  )
98 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
9998, 37, 38tosso 14465 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e. Toset  <->  ( ( lt
`  O )  Or  ( Base `  O
)  /\  (  _I  |`  ( Base `  O
) )  C_  .<_  ) ) )
10036, 99ax-mp 8 . 2  |-  ( O  e. Toset 
<->  ( ( lt `  O )  Or  ( Base `  O )  /\  (  _I  |`  ( Base `  O ) )  C_  .<_  ) )
10193, 97, 100sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817   class class class wbr 4212   {copab 4265    _I cid 4493    Or wor 4502    We wwe 4540    X. cxp 4876   `'ccnv 4877    |` cres 4880   "cima 4881   Rel wrel 4883   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   lecple 13536   ltcplt 14398  Tosetctos 14462   mPwSer cmps 16406    <bag cltb 16413   ordPwSer copws 16414
This theorem is referenced by:  opsrtos  16546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-oexp 6730  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-toset 14463  df-psr 16417  df-ltbag 16424  df-opsr 16425
  Copyright terms: Public domain W3C validator