Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrval Structured version   Unicode version

Theorem opsrval 16537
 Description: The value of the "ordered power series" function. This is the same as mPwSer psrval 16431, but with the addition of a well-order on we can turn a strict order on into a strict order on the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrval.s mPwSer
opsrval.o ordPwSer
opsrval.b
opsrval.q
opsrval.c bag
opsrval.d
opsrval.l
opsrval.i
opsrval.r
opsrval.t
Assertion
Ref Expression
opsrval sSet
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,)   ()   (,,,,)   (,,,,)   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem opsrval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrval.o . 2 ordPwSer
2 opsrval.i . . . . 5
3 elex 2966 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 opsrval.r . . . . 5
6 elex 2966 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 xpexg 4991 . . . . . 6
92, 2, 8syl2anc 644 . . . . 5
10 pwexg 4385 . . . . 5
11 mptexg 5967 . . . . 5 sSet bag
129, 10, 113syl 19 . . . 4 sSet bag
13 simpl 445 . . . . . . . 8
1413, 13xpeq12d 4905 . . . . . . 7
1514pweqd 3806 . . . . . 6
16 ovex 6108 . . . . . . . 8 mPwSer
1716a1i 11 . . . . . . 7 mPwSer
18 id 21 . . . . . . . . . 10 mPwSer mPwSer
19 oveq12 6092 . . . . . . . . . 10 mPwSer mPwSer
2018, 19sylan9eqr 2492 . . . . . . . . 9 mPwSer mPwSer
21 opsrval.s . . . . . . . . 9 mPwSer
2220, 21syl6eqr 2488 . . . . . . . 8 mPwSer
2322fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
24 opsrval.b . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer
2625sseq2d 3378 . . . . . . . . . . 11 mPwSer
27 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827rabex 4356 . . . . . . . . . . . . . 14
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
3013adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPwSer
3130oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15 mPwSer
32 rabeq 2952 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer
34 opsrval.d . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer
37 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mPwSer
3837fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mPwSer
39 opsrval.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4038, 39syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPwSer
4140breqd 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15 mPwSer
4230adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 mPwSer
4342oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mPwSer bag bag
4443breqd 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mPwSer bag bag
4544imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPwSer bag bag
4636, 45raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 mPwSer bag bag
4741, 46anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer bag bag
4836, 47rexeqbidv 2919 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer bag bag
4929, 35, 48sbcied2 3200 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer bag bag
5049orbi1d 685 . . . . . . . . . . 11 mPwSer bag bag
5126, 50anbi12d 693 . . . . . . . . . 10 mPwSer bag bag
5251opabbidv 4273 . . . . . . . . 9 mPwSer bag bag
5352opeq2d 3993 . . . . . . . 8 mPwSer bag bag
5422, 53oveq12d 6101 . . . . . . 7 mPwSer sSet bag sSet bag
5517, 54csbied 3295 . . . . . 6 mPwSer sSet bag sSet bag
5615, 55mpteq12dv 4289 . . . . 5 mPwSer sSet bag sSet bag
57 df-opsr 16427 . . . . 5 ordPwSer mPwSer sSet bag
5856, 57ovmpt2ga 6205 . . . 4 sSet bag ordPwSer sSet bag
594, 7, 12, 58syl3anc 1185 . . 3 ordPwSer sSet bag
60 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 bag bag
62 opsrval.c . . . . . . . . . . . . . . 15 bag
6361, 62syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14 bag
6463breqd 4225 . . . . . . . . . . . . 13 bag
6564imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12 bag
6665ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11 bag
6766anbi2d 686 . . . . . . . . . 10 bag
6867rexbidv 2728 . . . . . . . . 9 bag
6968orbi1d 685 . . . . . . . 8 bag
7069anbi2d 686 . . . . . . 7 bag
7170opabbidv 4273 . . . . . 6 bag
72 opsrval.l . . . . . 6
7371, 72syl6eqr 2488 . . . . 5 bag
7473opeq2d 3993 . . . 4 bag
7574oveq2d 6099 . . 3 sSet bag sSet
76 opsrval.t . . . 4
77 elpw2g 4365 . . . . 5
789, 77syl 16 . . . 4
7976, 78mpbird 225 . . 3
80 ovex 6108 . . . 4 sSet
8180a1i 11 . . 3 sSet
8259, 75, 79, 81fvmptd 5812 . 2 ordPwSer sSet
831, 82syl5eq 2482 1 sSet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958  wsbc 3163  csb 3253   wss 3322  cpw 3801  cpr 3817  cop 3819   class class class wbr 4214  copab 4267   cmpt 4268   cxp 4878  ccnv 4879  cima 4883  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmap 7020  cfn 7111  cn 10002  cn0 10223  cnx 13468   sSet csts 13469  cbs 13471  cple 13538  cplt 14400   mPwSer cmps 16408   bag cltb 16415   ordPwSer copws 16416 This theorem is referenced by:  opsrle  16538  opsrval2  16539 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-opsr 16427
 Copyright terms: Public domain W3C validator