MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrval2 Structured version   Unicode version

Theorem opsrval2 16538
Description: Self-referential expression for the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrval2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrval2.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrval2.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
opsrval2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrval2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
opsrval2.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
Assertion
Ref Expression
opsrval2  |-  ( ph  ->  O  =  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. )
)

Proof of Theorem opsrval2
Dummy variables  w  h  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrval2.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrval2.o . . 3  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 eqid 2437 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 eqid 2437 . . 3  |-  ( lt
`  R )  =  ( lt `  R
)
5 eqid 2437 . . 3  |-  ( T  <bag  I )  =  ( T  <bag  I )
6 eqid 2437 . . 3  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 eqid 2437 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( Base `  S )  /\  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  ( Base `  S
)  /\  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }
8 opsrval2.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
9 opsrval2.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
10 opsrval2.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10opsrval 16536 . 2  |-  ( ph  ->  O  =  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( Base `  S )  /\  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } >. ) )
12 opsrval2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  O )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 10opsrle 16537 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( Base `  S )  /\  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } )
1413opeq2d 3992 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( le `  ndx ) ,  .<_  >.  =  <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  ( Base `  S
)  /\  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } >. )
1514oveq2d 6098 . 2  |-  ( ph  ->  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. )  =  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( Base `  S )  /\  ( E. z  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
( x `  z
) ( lt `  R ) ( y `
 z )  /\  A. w  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  (
w ( T  <bag  I ) z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } >. ) )
1611, 15eqtr4d 2472 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   {crab 2710    C_ wss 3321   {cpr 3816   <.cop 3818   class class class wbr 4213   {copab 4266    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   "cima 4882   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ndxcnx 13467   sSet csts 13468   Basecbs 13470   lecple 13537   ltcplt 14399   mPwSer cmps 16407    <bag cltb 16414   ordPwSer copws 16415
This theorem is referenced by:  opsrbaslem  16539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ple 13550  df-psr 16418  df-opsr 16426
  Copyright terms: Public domain W3C validator