MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opswap Unicode version

Theorem opswap 5175
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
opswap  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.

Proof of Theorem opswap
StepHypRef Expression
1 cnvsng 5174 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 3854 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 opex 4253 . . . 4  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43unisn 3859 . . 3  |-  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >.
52, 4syl6eq 2344 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
6 uni0 3870 . . 3  |-  U. (/)  =  (/)
7 opprc 3833 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
87sneqd 3666 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  { (/) } )
98cnveqd 4873 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  `' { (/)
} )
10 cnvsn0 5157 . . . . 5  |-  `' { (/)
}  =  (/)
119, 10syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  (/) )
1211unieqd 3854 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. (/) )
13 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
14 opprc 3833 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
1513, 14sylnbi 297 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
166, 12, 153eqtr4a 2354 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
175, 16pm2.61i 156 1  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   `'ccnv 4704
This theorem is referenced by:  2nd1st  6181  cnvf1olem  6232  brtpos  6259  dftpos4  6269  tpostpos  6270  xpcomco  6968  fsumcnv  12252  gsumcom2  15242  txswaphmeolem  17511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716
  Copyright terms: Public domain W3C validator