MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opswap Unicode version

Theorem opswap 5159
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
opswap  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.

Proof of Theorem opswap
StepHypRef Expression
1 cnvsng 5158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 3838 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 opex 4237 . . . 4  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43unisn 3843 . . 3  |-  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >.
52, 4syl6eq 2331 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
6 uni0 3854 . . 3  |-  U. (/)  =  (/)
7 opprc 3817 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
87sneqd 3653 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  { (/) } )
98cnveqd 4857 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  `' { (/)
} )
10 cnvsn0 5141 . . . . 5  |-  `' { (/)
}  =  (/)
119, 10syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  (/) )
1211unieqd 3838 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. (/) )
13 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
14 opprc 3817 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
1513, 14sylnbi 297 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
166, 12, 153eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
175, 16pm2.61i 156 1  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   `'ccnv 4688
This theorem is referenced by:  2nd1st  6165  cnvf1olem  6216  brtpos  6243  dftpos4  6253  tpostpos  6254  xpcomco  6952  fsumcnv  12236  gsumcom2  15226  txswaphmeolem  17495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator