Theorem optocl 3235

Description: Implicit substitution of class for ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = (B X. C)
optocl.2	|- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
optocl.3	|- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- (A e. D -> ps)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   ps,x,y

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		optocl.1	. . 3 |- D = (B X. C)
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (A e. D <-> A e. (B X. C))
3		elxp3 3224	. . 3 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))
4		optocl.2	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
5		visset 1813	. . . . . . . 8 |- y e. V
6	5	opelxp 3214	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
7		optocl.3	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)
8	6, 7	sylbi 199	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (B X. C) -> ph)
9	4, 8	syl5bi 208	. . . . 5 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. e. (B X. C) -> ps))
10	9	imp 350	. . . 4 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
11	10	19.23aivv 1296	. . 3 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
12	3, 11	sylbi 199	. 2 |- (A e. (B X. C) -> ps)
13	2, 12	sylbi 199	1 |- (A e. D -> ps)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  2optocl 3236  3optocl 3237  ecoptocl 4303  ax0id 5281  ax1id 5282  axcnre 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain