MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opwf Structured version   Unicode version

Theorem opwf 7728
Description: An ordered pair is well-founded if its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
opwf  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  U. ( R1
" On ) )

Proof of Theorem opwf
StepHypRef Expression
1 dfopg 3974 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } } )
2 snwf 7725 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
4 prwf 7727 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { A ,  B }  e.  U. ( R1 " On ) )
5 prwf 7727 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  /\  { A ,  B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { { A } ,  { A ,  B } }  e.  U. ( R1 " On ) )
63, 4, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { { A } ,  { A ,  B } }  e.  U. ( R1 " On ) )
71, 6eqeltrd 2509 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  U. ( R1
" On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809   U.cuni 4007   Oncon0 4573   "cima 4873   R1cr1 7678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7680  df-rank 7681
  Copyright terms: Public domain W3C validator