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Theorem orbsta 15121
Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping  F is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of  A to the orbit of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
orbsta.o  |-  O  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
orbsta  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O
)
Distinct variable groups:    g, k, x, y,  .~    u, g, 
.(+) , k, x, y    x, H, y    A, g, k, u, x, y    g, G, k, u, x, y   
g, X, k, u, x, y    k, O   
g, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( x, y, u, g, k)    H( u, g, k)    O( x, y, u, g)    Y( u)

Proof of Theorem orbsta
Dummy variables  a 
b  h  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . 5  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
3 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
4 orbsta.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
51, 2, 3, 4orbstafun 15119 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
6 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A  e.  Y )
76adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  A  e.  Y )
81gaf 15103 . . . . . . . . . 10  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
98adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
109adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
11 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
1210, 11, 7fovrnd 6247 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  Y
)
13 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( k 
.(+)  A )  =  ( k  .(+)  A )
14 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  k  ->  (
h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) )
1514eqeq1d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  k  ->  (
( h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A )  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( k 
.(+)  A ) ) )
1615rspcev 3058 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  X  /\  ( k  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
A )  =  ( k  .(+)  A )
)
1711, 13, 16sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
A )  =  ( k  .(+)  A )
)
18 orbsta.o . . . . . . . 8  |-  O  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918gaorb 15115 . . . . . . 7  |-  ( A O ( k  .(+)  A )  <->  ( A  e.  Y  /\  ( k 
.(+)  A )  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) ) )
207, 12, 17, 19syl3anbrc 1139 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  A O
( k  .(+)  A ) )
21 ovex 6135 . . . . . . 7  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
22 elecg 6972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  .(+)  A )  e.  _V  /\  A  e.  Y )  ->  (
( k  .(+)  A )  e.  [ A ] O 
<->  A O ( k 
.(+)  A ) ) )
2321, 7, 22sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
k  .(+)  A )  e. 
[ A ] O  <->  A O ( k  .(+)  A ) ) )
2420, 23mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  [ A ] O )
251, 2gastacl 15117 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
261, 3eqger 15021 . . . . . 6  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
28 fvex 5771 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
291, 28eqeltri 2512 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
314, 24, 27, 30qliftf 7021 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( Fun  F  <->  F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O ) )
325, 31mpbid 203 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O )
33 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( X /.  .~  )  =  ( X /.  .~  )
34 fveq2 5757 . . . . . . . 8  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  a ) )
3534eqeq1d 2450 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
36 eqeq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( [ z ]  .~  =  b  <-> 
a  =  b ) )
3735, 36imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b
)  ->  [ z ]  .~  =  b )  <-> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
3837ralbidv 2731 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b )  <->  A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
39 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( F `  b ) )
4039eqeq2d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  <->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b ) ) )
41 eqeq2 2451 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( [ z ]  .~  =  [
w ]  .~  <->  [ z ]  .~  =  b ) )
4240, 41imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [
w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) 
<->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) ) )
431, 2, 3, 4orbstaval 15120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( z  .(+)  A ) )
4443adantrr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( z  .(+)  A )
)
451, 2, 3, 4orbstaval 15120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( w  .(+) 
A ) )
4645adantrl 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( w  .(+)  A )
)
4744, 46eqeq12d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) 
<->  ( z  .(+)  A )  =  ( w  .(+)  A ) ) )
481, 2, 3gastacos 15118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
z  .~  w  <->  ( z  .(+)  A )  =  ( w  .(+)  A )
) )
4927adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  .~  Er  X )
50 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
5149, 50erth 6978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
z  .~  w  <->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5247, 48, 513bitr2d 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) 
<->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5352biimpd 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5453anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5533, 42, 54ectocld 7000 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  /\  b  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) )
5655ralrimiva 2795 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  ->  A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) )
5733, 38, 56ectocld 7000 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  a  e.  ( X /.  .~  ) )  ->  A. b  e.  ( X /.  .~  )
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) )
5857ralrimiva 2795 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. a  e.  ( X /.  .~  ) A. b  e.  ( X /.  .~  )
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) )
59 dff13 6033 . . 3  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O  /\  A. a  e.  ( X /.  .~  ) A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
6032, 58, 59sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O
)
61 vex 2965 . . . . . . . . 9  |-  h  e. 
_V
62 elecg 6972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  e.  _V  /\  A  e.  Y )  ->  ( h  e.  [ A ] O  <->  A O h ) )
6361, 6, 62sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
h  e.  [ A ] O  <->  A O h ) )
6418gaorb 15115 . . . . . . . 8  |-  ( A O h  <->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h ) )
6563, 64syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
h  e.  [ A ] O  <->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h ) ) )
6665biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h ) )
6766simp3d 972 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h )
68 ovex 6135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G ~QG  H )  e.  _V
693, 68eqeltri 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  .~  e.  _V
7069ecelqsi 6989 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X  ->  [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
7170adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
7245eqcomd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w  .(+) 
A )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) )
73 fveq2 5757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  [ w ]  .~  ->  ( F `  z )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) )
7473eqeq2d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  [ w ]  .~  ->  ( ( w 
.(+)  A )  =  ( F `  z )  <-> 
( w  .(+)  A )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) ) )
7574rspcev 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  )  /\  ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 [ w ]  .~  ) )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 z ) )
7671, 72, 75syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 z ) )
77 eqeq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  .(+)  A )  =  h  ->  ( ( w  .(+)  A )  =  ( F `  z )  <->  h  =  ( F `  z ) ) )
7877rexbidv 2732 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  .(+)  A )  =  h  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `  z )  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
7976, 78syl5ibcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
w  .(+)  A )  =  h  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8079rexlimdva 2836 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8180imp 420 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z ) )
8267, 81syldan 458 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
)
8382ralrimiva 2795 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. h  e.  [  A ] O E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z ) )
84 dffo3 5913 . . 3  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O  /\  A. h  e.  [  A ] O E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8532, 83, 84sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O
)
86 df-f1o 5490 . 2  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O  /\  F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O
) )
8760, 85, 86sylanbrc 647 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712   {crab 2715   _Vcvv 2962    C_ wss 3306   {cpr 3839   <.cop 3841   class class class wbr 4237   {copab 4290    e. cmpt 4291    X. cxp 4905   ran crn 4908   Fun wfun 5477   -->wf 5479   -1-1->wf1 5480   -onto->wfo 5481   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    Er wer 6931   [cec 6932   /.cqs 6933   Basecbs 13500  SubGrpcsubg 14969   ~QG cqg 14971    GrpAct cga 15097
This theorem is referenced by:  orbsta2  15122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-subg 14972  df-eqg 14974  df-ga 15098
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