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Theorem orbsta 15053
Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping  F is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of  A to the orbit of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
orbsta.o  |-  O  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
orbsta  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O
)
Distinct variable groups:    g, k, x, y,  .~    u, g, 
.(+) , k, x, y    x, H, y    A, g, k, u, x, y    g, G, k, u, x, y   
g, X, k, u, x, y    k, O   
g, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( x, y, u, g, k)    H( u, g, k)    O( x, y, u, g)    Y( u)

Proof of Theorem orbsta
Dummy variables  a 
b  h  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . 5  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
3 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
4 orbsta.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
51, 2, 3, 4orbstafun 15051 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
6 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A  e.  Y )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  A  e.  Y )
81gaf 15035 . . . . . . . . . 10  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
98adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
11 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
1210, 11, 7fovrnd 6185 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  Y
)
13 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( k 
.(+)  A )  =  ( k  .(+)  A )
14 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  k  ->  (
h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) )
1514eqeq1d 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  k  ->  (
( h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A )  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( k 
.(+)  A ) ) )
1615rspcev 3020 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  X  /\  ( k  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
A )  =  ( k  .(+)  A )
)
1711, 13, 16sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
A )  =  ( k  .(+)  A )
)
18 orbsta.o . . . . . . . 8  |-  O  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918gaorb 15047 . . . . . . 7  |-  ( A O ( k  .(+)  A )  <->  ( A  e.  Y  /\  ( k 
.(+)  A )  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) ) )
207, 12, 17, 19syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  A O
( k  .(+)  A ) )
21 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
22 elecg 6910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  .(+)  A )  e.  _V  /\  A  e.  Y )  ->  (
( k  .(+)  A )  e.  [ A ] O 
<->  A O ( k 
.(+)  A ) ) )
2321, 7, 22sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
k  .(+)  A )  e. 
[ A ] O  <->  A O ( k  .(+)  A ) ) )
2420, 23mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  [ A ] O )
251, 2gastacl 15049 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
261, 3eqger 14953 . . . . . 6  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
28 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
291, 28eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
314, 24, 27, 30qliftf 6959 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( Fun  F  <->  F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O ) )
325, 31mpbid 202 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O )
33 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( X /.  .~  )  =  ( X /.  .~  )
34 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  a ) )
3534eqeq1d 2420 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
36 eqeq1 2418 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( [ z ]  .~  =  b  <-> 
a  =  b ) )
3735, 36imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b
)  ->  [ z ]  .~  =  b )  <-> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
3837ralbidv 2694 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b )  <->  A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
39 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( F `  b ) )
4039eqeq2d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  <->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b ) ) )
41 eqeq2 2421 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( [ z ]  .~  =  [
w ]  .~  <->  [ z ]  .~  =  b ) )
4240, 41imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [
w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) 
<->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) ) )
431, 2, 3, 4orbstaval 15052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( z  .(+)  A ) )
4443adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( z  .(+)  A )
)
451, 2, 3, 4orbstaval 15052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( w  .(+) 
A ) )
4645adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( w  .(+)  A )
)
4744, 46eqeq12d 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) 
<->  ( z  .(+)  A )  =  ( w  .(+)  A ) ) )
481, 2, 3gastacos 15050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
z  .~  w  <->  ( z  .(+)  A )  =  ( w  .(+)  A )
) )
4927adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  .~  Er  X )
50 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
5149, 50erth 6916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
z  .~  w  <->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5247, 48, 513bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) 
<->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5352biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5453anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5533, 42, 54ectocld 6938 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  /\  b  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) )
5655ralrimiva 2757 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  ->  A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) )
5733, 38, 56ectocld 6938 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  a  e.  ( X /.  .~  ) )  ->  A. b  e.  ( X /.  .~  )
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) )
5857ralrimiva 2757 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. a  e.  ( X /.  .~  ) A. b  e.  ( X /.  .~  )
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) )
59 dff13 5971 . . 3  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O  /\  A. a  e.  ( X /.  .~  ) A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
6032, 58, 59sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O
)
61 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  h  e. 
_V
62 elecg 6910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  e.  _V  /\  A  e.  Y )  ->  ( h  e.  [ A ] O  <->  A O h ) )
6361, 6, 62sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
h  e.  [ A ] O  <->  A O h ) )
6418gaorb 15047 . . . . . . . 8  |-  ( A O h  <->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h ) )
6563, 64syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
h  e.  [ A ] O  <->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h ) ) )
6665biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h ) )
6766simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h )
68 ovex 6073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G ~QG  H )  e.  _V
693, 68eqeltri 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  .~  e.  _V
7069ecelqsi 6927 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X  ->  [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
7170adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
7245eqcomd 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w  .(+) 
A )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) )
73 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  [ w ]  .~  ->  ( F `  z )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) )
7473eqeq2d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  [ w ]  .~  ->  ( ( w 
.(+)  A )  =  ( F `  z )  <-> 
( w  .(+)  A )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) ) )
7574rspcev 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  )  /\  ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 [ w ]  .~  ) )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 z ) )
7671, 72, 75syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 z ) )
77 eqeq1 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  .(+)  A )  =  h  ->  ( ( w  .(+)  A )  =  ( F `  z )  <->  h  =  ( F `  z ) ) )
7877rexbidv 2695 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  .(+)  A )  =  h  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `  z )  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
7976, 78syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
w  .(+)  A )  =  h  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8079rexlimdva 2798 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8180imp 419 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z ) )
8267, 81syldan 457 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
)
8382ralrimiva 2757 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. h  e.  [  A ] O E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z ) )
84 dffo3 5851 . . 3  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O  /\  A. h  e.  [  A ] O E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8532, 83, 84sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O
)
86 df-f1o 5428 . 2  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O  /\  F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O
) )
8760, 85, 86sylanbrc 646 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   {cpr 3783   <.cop 3785   class class class wbr 4180   {copab 4233    e. cmpt 4234    X. cxp 4843   ran crn 4846   Fun wfun 5415   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    Er wer 6869   [cec 6870   /.cqs 6871   Basecbs 13432  SubGrpcsubg 14901   ~QG cqg 14903    GrpAct cga 15029
This theorem is referenced by:  orbsta2  15054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904  df-eqg 14906  df-ga 15030
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