Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta Structured version   Unicode version

Theorem orbsta 15121
 Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of to the orbit of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1
gasta.2
orbsta.r ~QG
orbsta.f
orbsta.o
Assertion
Ref Expression
orbsta
Distinct variable groups:   ,,,,   ,, ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem orbsta
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . 5
2 gasta.2 . . . . 5
3 orbsta.r . . . . 5 ~QG
4 orbsta.f . . . . 5
51, 2, 3, 4orbstafun 15119 . . . 4
6 simpr 449 . . . . . . . 8
76adantr 453 . . . . . . 7
81gaf 15103 . . . . . . . . . 10
98adantr 453 . . . . . . . . 9
109adantr 453 . . . . . . . 8
11 simpr 449 . . . . . . . 8
1210, 11, 7fovrnd 6247 . . . . . . 7
13 eqid 2442 . . . . . . . 8
14 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10
1514eqeq1d 2450 . . . . . . . . 9
1615rspcev 3058 . . . . . . . 8
1711, 13, 16sylancl 645 . . . . . . 7
18 orbsta.o . . . . . . . 8
1918gaorb 15115 . . . . . . 7
207, 12, 17, 19syl3anbrc 1139 . . . . . 6
21 ovex 6135 . . . . . . 7
22 elecg 6972 . . . . . . 7
2321, 7, 22sylancr 646 . . . . . 6
2420, 23mpbird 225 . . . . 5
251, 2gastacl 15117 . . . . . 6 SubGrp
261, 3eqger 15021 . . . . . 6 SubGrp
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 fvex 5771 . . . . . . 7
291, 28eqeltri 2512 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
314, 24, 27, 30qliftf 7021 . . . 4
325, 31mpbid 203 . . 3
33 eqid 2442 . . . . 5
34 fveq2 5757 . . . . . . . 8
3534eqeq1d 2450 . . . . . . 7
36 eqeq1 2448 . . . . . . 7
3735, 36imbi12d 313 . . . . . 6
3837ralbidv 2731 . . . . 5
39 fveq2 5757 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2453 . . . . . . . 8
41 eqeq2 2451 . . . . . . . 8
4240, 41imbi12d 313 . . . . . . 7
431, 2, 3, 4orbstaval 15120 . . . . . . . . . . . 12
4443adantrr 699 . . . . . . . . . . 11
451, 2, 3, 4orbstaval 15120 . . . . . . . . . . . 12
4645adantrl 698 . . . . . . . . . . 11
4744, 46eqeq12d 2456 . . . . . . . . . 10
481, 2, 3gastacos 15118 . . . . . . . . . 10
4927adantr 453 . . . . . . . . . . 11
50 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
5149, 50erth 6978 . . . . . . . . . 10
5247, 48, 513bitr2d 274 . . . . . . . . 9
5352biimpd 200 . . . . . . . 8
5453anassrs 631 . . . . . . 7
5533, 42, 54ectocld 7000 . . . . . 6
5655ralrimiva 2795 . . . . 5
5733, 38, 56ectocld 7000 . . . 4
5857ralrimiva 2795 . . 3
59 dff13 6033 . . 3
6032, 58, 59sylanbrc 647 . 2
61 vex 2965 . . . . . . . . 9
62 elecg 6972 . . . . . . . . 9
6361, 6, 62sylancr 646 . . . . . . . 8
6418gaorb 15115 . . . . . . . 8
6563, 64syl6bb 254 . . . . . . 7
6665biimpa 472 . . . . . 6
6766simp3d 972 . . . . 5
68 ovex 6135 . . . . . . . . . . . 12 ~QG
693, 68eqeltri 2512 . . . . . . . . . . 11
7069ecelqsi 6989 . . . . . . . . . 10
7170adantl 454 . . . . . . . . 9
7245eqcomd 2447 . . . . . . . . 9
73 fveq2 5757 . . . . . . . . . . 11
7473eqeq2d 2453 . . . . . . . . . 10
7574rspcev 3058 . . . . . . . . 9
7671, 72, 75syl2anc 644 . . . . . . . 8
77 eqeq1 2448 . . . . . . . . 9
7877rexbidv 2732 . . . . . . . 8
7976, 78syl5ibcom 213 . . . . . . 7
8079rexlimdva 2836 . . . . . 6
8180imp 420 . . . . 5
8267, 81syldan 458 . . . 4
8382ralrimiva 2795 . . 3
84 dffo3 5913 . . 3
8532, 83, 84sylanbrc 647 . 2
86 df-f1o 5490 . 2
8760, 85, 86sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712  crab 2715  cvv 2962   wss 3306  cpr 3839  cop 3841   class class class wbr 4237  copab 4290   cmpt 4291   cxp 4905   crn 4908   wfun 5477  wf 5479  wf1 5480  wfo 5481  wf1o 5482  cfv 5483  (class class class)co 6110   wer 6931  cec 6932  cqs 6933  cbs 13500  SubGrpcsubg 14969   ~QG cqg 14971   cga 15097 This theorem is referenced by:  orbsta2  15122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-subg 14972  df-eqg 14974  df-ga 15098
 Copyright terms: Public domain W3C validator