MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstaval Unicode version

Theorem orbstaval 14766
Description: Value of the function at a given equivalence class element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
Assertion
Ref Expression
orbstaval  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  B  e.  X
)  ->  ( F `  [ B ]  .~  )  =  ( B  .(+) 
A ) )
Distinct variable groups:    .~ , k    u, k,  .(+)    A, k, u    k, G, u    B, k, u   
k, X, u    k, Y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( u, k)    H( u, k)    Y( u)

Proof of Theorem orbstaval
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
2 ovex 5883 . . 3  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
32a1i 10 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  _V )
4 gasta.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
64, 5gastacl 14763 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
7 orbsta.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
84, 7eqger 14667 . . 3  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
96, 8syl 15 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
10 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
114, 10eqeltri 2353 . . 3  |-  X  e. 
_V
1211a1i 10 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
13 oveq1 5865 . 2  |-  ( k  =  B  ->  (
k  .(+)  A )  =  ( B  .(+)  A ) )
144, 5, 7, 1orbstafun 14765 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
151, 3, 9, 12, 13, 14qliftval 6747 1  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  B  e.  X
)  ->  ( F `  [ B ]  .~  )  =  ( B  .(+) 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   <.cop 3643    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   Basecbs 13148  SubGrpcsubg 14615   ~QG cqg 14617    GrpAct cga 14743
This theorem is referenced by:  orbsta  14767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744
  Copyright terms: Public domain W3C validator