MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord3ex Structured version   Unicode version

Theorem ord3ex 4381
Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union ax-un 4693. (Contributed by NM, 2-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
ord3ex  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  e.  _V

Proof of Theorem ord3ex
StepHypRef Expression
1 df-tp 3814 . 2  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  =  ( { (/)
,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } )
2 pwpr 4003 . . . 4  |-  ~P { (/)
,  { (/) } }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } )
3 pp0ex 4380 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
43pwex 4374 . . . 4  |-  ~P { (/)
,  { (/) } }  e.  _V
52, 4eqeltrri 2506 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }
)  e.  _V
6 snsspr2 3940 . . . 4  |-  { { (/)
,  { (/) } } }  C_  { { { (/)
} } ,  { (/)
,  { (/) } } }
7 unss2 3510 . . . 4  |-  ( { { (/) ,  { (/) } } }  C_  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }  ->  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { (/)
,  { (/) } } } )  C_  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } ) )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } ) 
C_  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } )
95, 8ssexi 4340 . 2  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } )  e.  _V
101, 9eqeltri 2505 1  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   {ctp 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814
  Copyright terms: Public domain W3C validator