MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord3ex Unicode version

Theorem ord3ex 4216
Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union ax-un 4528. (Contributed by NM, 2-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
ord3ex  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  e.  _V

Proof of Theorem ord3ex
StepHypRef Expression
1 df-tp 3661 . 2  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  =  ( { (/)
,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } )
2 pwpr 3839 . . . 4  |-  ~P { (/)
,  { (/) } }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } )
3 pp0ex 4215 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
43pwex 4209 . . . 4  |-  ~P { (/)
,  { (/) } }  e.  _V
52, 4eqeltrri 2367 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }
)  e.  _V
6 snsspr2 3781 . . . 4  |-  { { (/)
,  { (/) } } }  C_  { { { (/)
} } ,  { (/)
,  { (/) } } }
7 unss2 3359 . . . 4  |-  ( { { (/) ,  { (/) } } }  C_  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }  ->  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { (/)
,  { (/) } } } )  C_  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } ) )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } ) 
C_  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } )
95, 8ssexi 4175 . 2  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } )  e.  _V
101, 9eqeltri 2366 1  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661
  Copyright terms: Public domain W3C validator