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Theorem ordcmp 24958
Description: An ordinal topology is compact iff the underlying set is its supremum (union) only when the ordinal is  1o. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordcmp  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )

Proof of Theorem ordcmp
StepHypRef Expression
1 orduni 4601 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Ord  U. A
)
2 unizlim 4525 . . . . . 6  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A ) ) )
3 uni0b 3868 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
43orbi1i 506 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A )  <->  ( A  C_ 
{ (/) }  \/  Lim  U. A ) )
52, 4syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A ) ) )
65biimpd 198 . . . 4  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
71, 6syl 15 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
8 sssn 3788 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
9 0ntop 16667 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (/)  e.  Top
10 cmptop 17138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  Comp  ->  (/)  e.  Top )
119, 10mto 167 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Comp
12 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  <->  (/)  e.  Comp )
)
1311, 12mtbiri 294 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  A  e.  Comp )
1413pm2.21d 98 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
15 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
16 df1o2 6507 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
1715, 16syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  1o )
1817a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
1914, 18jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
)
208, 19sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
2120a1i 10 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
{ (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
22 ordtop 24947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  <->  A  =/=  U. A
) )
2322biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  ->  A  =/=  U. A ) )
2423necon2bd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Top )
)
25 cmptop 17138 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Comp  ->  A  e. 
Top )
2625con3i 127 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Top  ->  -.  A  e.  Comp )
2724, 26syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
2827a1dd 42 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
29 limsucncmp 24957 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. A  ->  -.  suc  U. A  e.  Comp )
30 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( A  e.  Comp  <->  suc  U. A  e.  Comp )
)
3130notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( -.  A  e. 
Comp 
<->  -.  suc  U. A  e.  Comp ) )
3229, 31syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
3332a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  suc  U. A  -> 
( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
34 orduniorsuc 4637 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  \/  A  =  suc  U. A ) )
3528, 33, 34mpjaod 370 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
36 pm2.21 100 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Comp  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
3735, 36syl6 29 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
3821, 37jaod 369 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
) )
3938com23 72 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  ->  A  =  1o )
) )
407, 39syl5d 62 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o ) ) )
41 ordeleqon 4596 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( A  e.  On  \/  A  =  On ) )
42 unon 4638 . . . . . . . . . . 11  |-  U. On  =  On
4342eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  On  =  U. On
4443unieqi 3853 . . . . . . . . 9  |-  U. On  =  U. U. On
45 unieq 3852 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. On )
4645unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. U. A  =  U. U. On )
4744, 45, 463eqtr4a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. U. A )
4847orim2i 504 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  \/  A  =  On )  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
4941, 48sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
5049orcomd 377 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  A  e.  On ) )
5150ord 366 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  On ) )
52 unieq 3852 . . . . . . 7  |-  ( A  =  U. A  ->  U. A  =  U. U. A )
5352con3i 127 . . . . . 6  |-  ( -. 
U. A  =  U. U. A  ->  -.  A  =  U. A )
5434ord 366 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  A  =  U. A  ->  A  =  suc  U. A
) )
5553, 54syl5 28 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  U. A ) )
56 orduniorsuc 4637 . . . . . . . 8  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
571, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
5857ord 366 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
59 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  suc  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)
6058, 59syl6 29 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
) )
61 eqtr 2313 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  suc  U. A  /\  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)  ->  A  =  suc  suc  U. U. A
)
6261ex 423 . . . . 5  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U.
U. A ) )
6355, 60, 62syl6c 60 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U. U. A ) )
64 onuni 4600 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  U. A  e.  On )
65 onuni 4600 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  On  ->  U.
U. A  e.  On )
6664, 65syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  U. U. A  e.  On )
67 onsucsuccmp 24955 . . . . 5  |-  ( U. U. A  e.  On  ->  suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp )
68 eleq1a 2365 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp )
)
6966, 67, 683syl 18 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
7051, 63, 69syl6c 60 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
71 id 19 . . . . . 6  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  1o )
7271, 16syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  { (/) } )
73 0cmp 17137 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Comp
7472, 73syl6eqel 2384 . . . 4  |-  ( A  =  1o  ->  A  e.  Comp )
7574a1i 10 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  1o  ->  A  e. 
Comp ) )
7670, 75jad 154 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )  ->  A  e. 
Comp ) )
7740, 76impbid 183 1  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   1oc1o 6488   Topctop 16647   Compccmp 17129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130
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