MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Unicode version

Theorem ordelon 4416
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 4414 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
2 elong 4400 . . 3  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  e.  On  <->  Ord  B ) )
32adantl 452 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  e.  On  <->  Ord  B ) )
41, 3mpbird 223 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   Ord word 4391   Oncon0 4392
This theorem is referenced by:  onelon  4417  ordunidif  4440  ordpwsuc  4606  ordsucun  4616  ordunel  4618  ordunisuc2  4635  oesuclem  6524  odi  6577  oelim2  6593  oeoalem  6594  oeoelem  6596  limenpsi  7036  ordtypelem9  7241  oismo  7255  cantnflt  7373  cantnfp1lem3  7382  cantnflem1b  7388  cantnflem1  7391  rankr1bg  7475  rankr1clem  7492  rankr1c  7493  rankonidlem  7500  infxpenlem  7641  coflim  7887  fin23lem26  7951  fpwwe2lem8  8259  nofulllem5  24360  onsuct0  24880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396
  Copyright terms: Public domain W3C validator