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Theorem ordelordALTVD 28959
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. This is an alternate proof of ordelord 4430 using the Axiom of Regularity indirectly through dford2 7337. dford2 is a weaker definition of ordinal number. Given the Axiom of Regularity, it need not be assumed that  _E  Fr  A because this is inferred by the Axiom of Regularity. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. ordelordALT 28600 is ordelordALTVD 28959 without virtual deductions and was automatically derived from ordelordALTVD 28959 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command.
1::  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  ( Ord  A  /\  B  e.  A ) ).
2:1:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  A ).
3:1:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
4:2:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
5:2:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
6:4,3:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  C_  A ).
7:6,6,5:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  B ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
8::  |-  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
9:8:  |-  A. y ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
10:9:  |-  A. y  e.  A ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
11:10:  |-  ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
12:11:  |-  A. x ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
13:12:  |-  A. x  e.  A ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
14:13:  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
15:14,5:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
16:4,15,3:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
17:16,7:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  B ).
qed:17:  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
(Contributed by Alan Sare, 12-Feb-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordelordALTVD  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )

Proof of Theorem ordelordALTVD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28641 . . . . . 6  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  ( Ord  A  /\  B  e.  A
) ).
2 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  A )
31, 2e1_ 28704 . . . . 5  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  A ).
4 ordtr 4422 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
53, 4e1_ 28704 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
6 dford2 7337 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
76simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
83, 7e1_ 28704 . . . . 5  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
9 3orcomb 944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
109ax-gen 1536 . . . . . . . . . 10  |-  A. y
( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
11 alral 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  ->  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) )
1210, 11e0_ 28861 . . . . . . . . 9  |-  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
13 ralbi 2692 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) )
1412, 13e0_ 28861 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
1514ax-gen 1536 . . . . . . 7  |-  A. x
( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
16 alral 2614 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
1715, 16e0_ 28861 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
18 ralbi 2692 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
1917, 18e0_ 28861 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
208, 19e1bi 28706 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
21 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
221, 21e1_ 28704 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
23 tratrb 28598 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
24233exp 1150 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  ( B  e.  A  ->  Tr  B
) ) )
255, 20, 22, 24e111 28751 . . 3  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
26 trss 4138 . . . . 5  |-  ( Tr  A  ->  ( B  e.  A  ->  B  C_  A ) )
275, 22, 26e11 28765 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  C_  A ).
28 ssralv2 28593 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  C_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) ) )
3027, 27, 8, 29e111 28751 . . 3  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
31 dford2 7337 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  ( Tr  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
3231simplbi2 608 . . 3  |-  ( Tr  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  Ord  B )
)
3325, 30, 32e11 28765 . 2  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  B ).
3433in1 28638 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   Tr wtr 4129   Ord word 4407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-vd1 28637
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