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Theorem ordiso2 7448
Description: Generalize ordiso 7449 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 4737 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
213ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A  C_  On )
32sseld 3315 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  On )
)
4 eleq1 2472 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
5 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
6 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
75, 6eqeq12d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  y )  =  y ) )
84, 7imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  =  x )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y ) ) )
98imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) )  <->  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( F `  y
)  =  y ) ) ) )
10 r19.21v 2761 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( F `  y
)  =  y ) )  <->  ( ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) ) )
11 ordelss 4565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
12113ad2antl2 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
1312sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
14 pm5.5 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  <-> 
( F `  y
)  =  y ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  <-> 
( F `  y
)  =  y ) )
1615ralbidva 2690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )
17 isof1o 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
18173ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
20 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  Ord  B )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  e.  ( F `  x
) )
22 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
2317, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  F : A --> B )
24233ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  F : A --> B )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  F : A --> B )
26 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  x  e.  A )
27 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  x )  e.  B )
2921, 28jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  (
z  e.  ( F `
 x )  /\  ( F `  x )  e.  B ) )
30 ordtr1 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
B  ->  ( (
z  e.  ( F `
 x )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
z  e.  B ) )
3120, 29, 30sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  e.  B )
32 f1ocnvfv2 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3319, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
3433, 21eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F `
 x ) )
35 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )
)
36 f1ocnv 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
37 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
3819, 36, 373syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  `' F : B --> A )
39 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  A
)
4038, 31, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  A )
41 isorel 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  ( ( `' F `  z )  e.  A  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( `' F `  z )  _E  x  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  _E  ( F `
 x ) ) )
4235, 40, 26, 41syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  (
( `' F `  z )  _E  x  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  _E  ( F `
 x ) ) )
43 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
4443epelc 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' F `  z )  _E  x  <->  ( `' F `  z )  e.  x )
45 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4645epelc 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  _E  ( F `
 x )  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F `  x
) )
4742, 44, 463bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  (
( `' F `  z )  e.  x  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F `
 x ) ) )
4834, 47mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  x )
49 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y )
50 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
51 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  y  =  ( `' F `  z ) )
5250, 51eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( F `  y
)  =  y  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  ( `' F `  z ) ) )
5352rspcv 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F `  z )  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  ( `' F `  z ) ) )
5448, 49, 53sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  ( `' F `  z ) )
5533, 54eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  =  ( `' F `  z ) )
5655, 48eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  e.  x )
57 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y )
58 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
59 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
6058, 59eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  =  y  <->  ( F `  z )  =  z ) )
6160rspccva 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  =  z )
6257, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  =  z )
63 epel 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  _E  x  <->  z  e.  x )
6463biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  z  _E  x )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  z  _E  x )
66 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )
)
67 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  Ord  A )
68 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  A
)
6967, 68, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  C_  A
)
7069sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
71 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  A )
72 isorel 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  ( z  e.  A  /\  x  e.  A ) )  -> 
( z  _E  x  <->  ( F `  z )  _E  ( F `  x ) ) )
7366, 70, 71, 72syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  (
z  _E  x  <->  ( F `  z )  _E  ( F `  x )
) )
7465, 73mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  _E  ( F `  x
) )
7545epelc 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  z )  _E  ( F `  x )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  x ) )
7674, 75sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  x
) )
7762, 76eqeltrrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  ( F `  x
) )
7856, 77impbida 806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( z  e.  ( F `  x
)  <->  z  e.  x
) )
7978eqrdv 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
8079expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y  ->  ( F `  x )  =  x ) )
8116, 80sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  ->  ( F `  x )  =  x ) )
8281ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y )  =  y )  ->  ( F `  x )  =  x ) ) )
8382com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `  x )  =  x ) ) )
8483a2i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) )  -> 
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) ) )
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) )  -> 
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) ) ) )
8610, 85syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) )  -> 
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) ) ) )
879, 86tfis2 4803 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  (
( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( F `  x
)  =  x ) ) )
8887com3l 77 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  e.  On  ->  ( F `  x
)  =  x ) ) )
893, 88mpdd 38 . . 3  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( F `  x
)  =  x ) )
9089ralrimiv 2756 . 2  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )
91 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
92 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
9391, 92eqeq12d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  z )  =  z ) )
9493rspccva 3019 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  z )
9594adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  z )
96 ffvelrn 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  B )
9723, 96sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  z )  e.  B
)
98973ad2antl1 1119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
9998adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
10095, 99eqeltrrd 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  B )
101100ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )
102 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )
)
103 f1ofo 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
104 forn 5623 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
10517, 103, 1043syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  ran  F  =  B )
106102, 105syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  ran  F  =  B )
107106eleq2d 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  z  e.  B ) )
108 f1ofn 5642 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  A )
10917, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  F  Fn  A
)
1101093ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  F  Fn  A )
111110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  F  Fn  A )
112 fvelrnb 5741 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z ) )
113111, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z ) )
114107, 113bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  B  <->  E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z ) )
115 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
116 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
117115, 116eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  w )  =  w ) )
118117rspcv 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  w )  =  w ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
w  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  w )  =  w ) ) )
120 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z )  -> 
( F `  w
)  =  z )
121 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z )  -> 
( F `  w
)  =  w )
122120, 121eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z )  -> 
z  =  w )
123122adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  w  e.  A )  /\  (
( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z ) )  ->  z  =  w )
124 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  w  e.  A )  /\  (
( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z ) )  ->  w  e.  A
)
125123, 124eqeltrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  w  e.  A )  /\  (
( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z ) )  ->  z  e.  A
)
126125exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( F `  w )  =  w  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  A ) ) ) )
127119, 126syldd 63 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
w  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  A ) ) ) )
128127com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  A
) ) ) )
129128imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  A
) ) )
130129rexlimdv 2797 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  ( E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  A ) )
131114, 130sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  A ) )
132101, 131impbid 184 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  A  <->  z  e.  B ) )
133132eqrdv 2410 . 2  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  A  =  B )
13490, 133mpdan 650 1  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    _E cep 4460   Ord word 4548   Oncon0 4549   `'ccnv 4844   ran crn 4846    Fn wfn 5416   -->wf 5417   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421    Isom wiso 5422
This theorem is referenced by:  ordiso  7449  oieu  7472  oiid  7474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430
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