MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4665
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4115 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om ) )
2 onelon 4417 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
32expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  On  ->  y  e.  On ) )
4 limord 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  Ord  z )
5 ordtr 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  z  ->  Tr  z
)
6 trel 4120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
87exp3a 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
98com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  ( Lim  z  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
109a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Lim  z  ->  x  e.  z )  -> 
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1110alimdv 1607 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  ( A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z )  ->  A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
123, 11anim12d 546 . . . . . 6  |-  ( y  e.  x  ->  (
( x  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) ) )
13 elom 4659 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  x  e.  z ) ) )
14 elom 4659 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  <->  ( y  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  om  ->  y  e.  om ) )
1615imp 418 . . . 4  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  om )  ->  y  e.  om )
1716ax-gen 1533 . . 3  |-  A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om )
181, 17mpgbir 1537 . 2  |-  Tr  om
19 omsson 4660 . 2  |-  om  C_  On
20 ordon 4574 . 2  |-  Ord  On
21 trssord 4409 . 2  |-  ( ( Tr  om  /\  om  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  om )
2218, 19, 20, 21mp3an 1277 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684    C_ wss 3152   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   omcom 4656
This theorem is referenced by:  elnn  4666  omon  4667  limom  4671  ssnlim  4674  peano5  4679  nnarcl  6614  nnawordex  6635  oaabslem  6641  oaabs2  6643  omabslem  6644  onomeneq  7050  ominf  7075  findcard3  7100  nnsdomg  7116  dffi3  7184  wofib  7260  alephgeom  7709  iscard3  7720  iunfictbso  7741  unctb  7831  ackbij2lem1  7845  ackbij1lem3  7848  ackbij1lem18  7863  ackbij2  7869  cflim2  7889  fin23lem26  7951  fin23lem23  7952  fin23lem27  7954  fin67  8021  alephexp1  8201  pwfseqlem3  8282  pwcdandom  8289  winainflem  8315  wunex2  8360  om2uzoi  11018  ltweuz  11024  fz1isolem  11399  mreexexd  13550  1stcrestlem  17178  omsinds  24219  hfuni  24814  hfninf  24816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator