Theorem ordom 3131

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2672	. . 3 |- (Tr om <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om))
2		ordelord 2960	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
3		nnord 3130	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> Ord x)
4	2, 3	sylan 448	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. x) -> Ord y)
5	4	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ x e. om) -> Ord y)
6		trel 2677	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Tr z -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. z))
7	6	exp3a 375	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr z -> (y e. x -> (x e. z -> y e. z)))
8	7	com12 11	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. x -> (Tr z -> (x e. z -> y e. z)))
9		limord 3018	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> Ord z)
10		ordtr 2952	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord z -> Tr z)
11	9, 10	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> Tr z)
12	8, 11	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (y e. x -> (Lim z -> (x e. z -> y e. z)))
13	12	a2d 13	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> ((Lim z -> x e. z) -> (Lim z -> y e. z)))
14	13	19.20dv 1284	. . . . . . . 8 |- (y e. x -> (A.z(Lim z -> x e. z) -> A.z(Lim z -> y e. z)))
15		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
16	15	elom 3124	. . . . . . . . 9 |- (x e. om <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
17	16	pm3.27bi 326	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> A.z(Lim z -> x e. z))
18	14, 17	syl5 21	. . . . . . 7 |- (y e. x -> (x e. om -> A.z(Lim z -> y e. z)))
19	18	imp 350	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ x e. om) -> A.z(Lim z -> y e. z))
20	5, 19	jca 288	. . . . 5 |- ((y e. x /\ x e. om) -> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
21		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
22	21	elom 3124	. . . . 5 |- (y e. om <-> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
23	20, 22	sylibr 200	. . . 4 |- ((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
24	23	ax-gen 960	. . 3 |- A.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
25	1, 24	mpgbir 985	. 2 |- Tr om
26		omsson 3126	. 2 |- om (_ On
27		ordon 2977	. 2 |- Ord On
28		trssord 2955	. 2 |- ((Tr om /\ om (_ On /\ Ord On) -> Ord om)
29	25, 26, 27, 28	mp3an 913	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   e. wcel 955   (_ wss 2037  Tr wtr 2670  Ord word 2937  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  omcom 3121

This theorem is referenced by:  elnn 3132  omon 3133  limom 3136  peano5 3143  ssnlim 3157  nnarcl 4216  oaabslem 4235  oaabs 4236  onomeneq 4498  ominf 4508  omsdomnn 4509  alephgeom 4854  iscard3 4860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-om 3122

Copyright terms: Public domain