MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordpipq Unicode version

Theorem ordpipq 8582
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordpipq  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) )

Proof of Theorem ordpipq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4253 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4253 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
43anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
54anbi1d 685 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) ) ) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  x
)  =  ( 1st `  <. A ,  B >. ) )
7 opelxp 4735 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)
8 op1stg 6148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A )
97, 8sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A )
109adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( 1st ` 
<. A ,  B >. )  =  A )
116, 10sylan9eq 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( 1st `  x )  =  A )
1211oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  =  ( A  .N  ( 2nd `  y ) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
14 op2ndg 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B )
157, 14sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( 2nd ` 
<. A ,  B >. )  =  B )
1713, 16sylan9eq 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( 2nd `  x )  =  B )
1817oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  .N  ( 2nd `  x
) )  =  ( ( 1st `  y
)  .N  B ) )
1912, 18breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) )  <->  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) )
2019pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
215, 20bitrd 244 . . 3  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
22 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
2322anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )
) ) )
2423anbi1d 685 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  <. C ,  D >. ) )
26 opelxp 4735 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)
27 op2ndg 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
2826, 27sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
2928adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
3025, 29sylan9eq 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( 2nd `  y
)  =  D )
3130oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( A  .N  ( 2nd `  y ) )  =  ( A  .N  D ) )
32 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  <. C ,  D >. ) )
33 op1stg 6148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3426, 33sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3534adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3632, 35sylan9eq 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( 1st `  y
)  =  C )
3736oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( 1st `  y
)  .N  B )  =  ( C  .N  B ) )
3831, 37breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( A  .N  ( 2nd `  y ) )  <N  ( ( 1st `  y )  .N  B )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( C  .N  B ) ) )
3938pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) ) )
4024, 39bitrd 244 . . 3  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) ) )
41 df-ltpq 8550 . . 3  |-  <pQ  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) ) }
421, 2, 21, 40, 41brab 4303 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) ) )
43 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )  -> 
( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )
44 ltrelpi 8529 . . . . . 6  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
4544brel 4753 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( ( A  .N  D )  e. 
N.  /\  ( C  .N  B )  e.  N. ) )
46 dmmulpi 8531 . . . . . . 7  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
47 0npi 8522 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  N.
4846, 47ndmovrcl 6022 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )
4946, 47ndmovrcl 6022 . . . . . 6  |-  ( ( C  .N  B )  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )
5048, 49anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  e.  N.  /\  ( C  .N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. ) ) )
51 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
5251ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
53 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
54 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  D  e.  N. )
55 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
5653, 54, 55syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
5752, 56jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5845, 50, 573syl 18 . . . 4  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5958ancri 535 . . 3  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) )
6043, 59impbii 180 . 2  |-  ( ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( C  .N  B ) )
6142, 60bitri 240 1  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   N.cnpi 8482    .N cmi 8484    <N clti 8485    <pQ cltpq 8488
This theorem is referenced by:  ordpinq  8583  lterpq  8610  ltanq  8611  ltmnq  8612  1lt2nq  8613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-omul 6500  df-ni 8512  df-mi 8514  df-lti 8515  df-ltpq 8550
  Copyright terms: Public domain W3C validator