MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Unicode version

Theorem ordsuc 4753
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 4549 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
2 suceloni 4752 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
3 eloni 4551 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  Ord 
suc  A )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  suc 
A )
51, 4syl6bir 221 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  ->  Ord  suc  A
) )
6 sucidg 4619 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7 ordelord 4563 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  A  e.  suc  A )  ->  Ord  A )
87ex 424 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( A  e.  suc  A  ->  Ord  A ) )
96, 8syl5com 28 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  suc  A  ->  Ord  A ) )
105, 9impbid 184 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A )
)
11 sucprc 4616 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  suc 
A  =  A )
1211eqcomd 2409 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A  =  suc  A )
13 ordeq 4548 . . 3  |-  ( A  =  suc  A  -> 
( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1510, 14pm2.61i 158 1  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   Ord word 4540   Oncon0 4541   suc csuc 4543
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  4754  sucelon  4756  ordsucss  4757  onpsssuc  4758  ordsucelsuc  4761  ordsucsssuc  4762  ordsucuniel  4763  ordsucun  4764  onsucuni2  4773  0elsuc  4774  nlimsucg  4781  limsssuc  4789  php4  7253  cantnflt  7583  fin23lem26  8161  hsmexlem1  8262  onsuct0  26095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547
  Copyright terms: Public domain W3C validator