MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Unicode version

Theorem ordsuc 4605
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 4400 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
2 suceloni 4604 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
3 eloni 4402 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  Ord 
suc  A )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  suc 
A )
51, 4syl6bir 220 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  ->  Ord  suc  A
) )
6 sucidg 4470 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7 ordelord 4414 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  A  e.  suc  A )  ->  Ord  A )
87ex 423 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( A  e.  suc  A  ->  Ord  A ) )
96, 8syl5com 26 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  suc  A  ->  Ord  A ) )
105, 9impbid 183 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A )
)
11 sucprc 4467 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  suc 
A  =  A )
1211eqcomd 2288 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A  =  suc  A )
13 ordeq 4399 . . 3  |-  ( A  =  suc  A  -> 
( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1510, 14pm2.61i 156 1  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  4606  sucelon  4608  ordsucss  4609  onpsssuc  4610  ordsucelsuc  4613  ordsucsssuc  4614  ordsucuniel  4615  ordsucun  4616  onsucuni2  4625  0elsuc  4626  nlimsucg  4633  limsssuc  4641  php4  7048  cantnflt  7373  fin23lem26  7951  hsmexlem1  8052  onsuct0  24880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398
  Copyright terms: Public domain W3C validator