Theorem ordsuc 3065

Description: The successor of an ordinal class is ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	|- (Ord A <-> Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 2956	. . . 4 |- (A e. V -> (A e. On <-> Ord A))
2		suceloni 3062	. . . . 5 |- (A e. On -> suc A e. On)
3		eloni 2958	. . . . 5 |- (suc A e. On -> Ord suc A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (A e. On -> Ord suc A)
5	1, 4	syl6bir 215	. . 3 |- (A e. V -> (Ord A -> Ord suc A))
6		ordelord 2970	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ A e. suc A) -> Ord A)
7	6	ex 373	. . . 4 |- (Ord suc A -> (A e. suc A -> Ord A))
8		sucidg 3052	. . . 4 |- (A e. V -> A e. suc A)
9	7, 8	syl5com 52	. . 3 |- (A e. V -> (Ord suc A -> Ord A))
10	5, 9	impbid 516	. 2 |- (A e. V -> (Ord A <-> Ord suc A))
11		sucprc 3044	. . . 4 |- (-. A e. V -> suc A = A)
12	11	eqcomd 1480	. . 3 |- (-. A e. V -> A = suc A)
13		ordeq 2955	. . 3 |- (A = suc A -> (Ord A <-> Ord suc A))
14	12, 13	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> (Ord A <-> Ord suc A))
15	10, 14	pm2.61i 126	1 |- (Ord A <-> Ord suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  Ord word 2947  Oncon0 2948  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  ordpwsuc 3066  sucelon 3068  ordsucss 3069  ordsucelsuc 3073  ordsucsssuc 3074  ordsucun 3082  0elsuc 3092  nlimsucg 3112  limsssuc 3121  php4 4517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain