MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Unicode version

Theorem ordsuc 4794
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 4589 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  On  <->  Ord  A ) )
2 suceloni 4793 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
3 eloni 4591 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  Ord 
suc  A )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  suc 
A )
51, 4syl6bir 221 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  ->  Ord  suc  A
) )
6 sucidg 4659 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7 ordelord 4603 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  A  e.  suc  A )  ->  Ord  A )
87ex 424 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( A  e.  suc  A  ->  Ord  A ) )
96, 8syl5com 28 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  suc  A  ->  Ord  A ) )
105, 9impbid 184 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A )
)
11 sucprc 4656 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  suc 
A  =  A )
1211eqcomd 2441 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A  =  suc  A )
13 ordeq 4588 . . 3  |-  ( A  =  suc  A  -> 
( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ord  A  <->  Ord  suc  A
) )
1510, 14pm2.61i 158 1  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   Ord word 4580   Oncon0 4581   suc csuc 4583
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  4795  sucelon  4797  ordsucss  4798  onpsssuc  4799  ordsucelsuc  4802  ordsucsssuc  4803  ordsucuniel  4804  ordsucun  4805  onsucuni2  4814  0elsuc  4815  nlimsucg  4822  limsssuc  4830  php4  7294  cantnflt  7627  fin23lem26  8205  hsmexlem1  8306  onsuct0  26191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587
  Copyright terms: Public domain W3C validator