Theorem ordsucelsuc 3063

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
2		ordsuc 3055	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A <-> Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 449	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
4	3	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
5		ordsucss 3059	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))
6	5	ad2antll 407	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B -> suc A (_ B))
7		sucssel 3060	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V -> (suc A (_ B -> A e. B))
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B -> A e. B))
9	6, 8	impbid 514	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A (_ B))
10		sucexb 3038	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V <-> suc A e. V)
11		elsucg 3026	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 548	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
15	14	ex 373	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
16		elisset 1808	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1808	. . . . . . . . . . 11 |- (suc A e. suc B -> suc A e. V)
18	17, 10	sylibr 200	. . . . . . . . . 10 |- (suc A e. suc B -> A e. V)
19	16, 18	pm5.21ni 676	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
20	19	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 126	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
22	21	biimpd 153	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
23		ordelord 2960	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
24	22, 23	sylan 448	. . . . 5 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
25	24	exp31 376	. . . 4 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))))
26	25	pm2.43a 66	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (A e. B -> suc A e. suc B)))
27	26	pm2.43d 65	. 2 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))
28	21	biimprd 154	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
29		ordelord 2960	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
31		ordsuc 3055	. . . . . . 7 |- (Ord B <-> Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 449	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
33	28, 32	sylan 448	. . . . 5 |- (((Ord B /\ suc A e. suc B) /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
34	33	exp31 376	. . . 4 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))))
35	34	pm2.43a 66	. . 3 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (suc A e. suc B -> A e. B)))
36	35	pm2.43d 65	. 2 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))
37	27, 36	impbid 514	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  Ord word 2937  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 3064  oalimcl 4178  omlimcl 4193  pssnn 4513  r1pw 4658  rankelpr 4680  rankelop 4681  rankxplim3 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain