Theorem ordsucss 3069

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it.

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordnbtwn 3063	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2		imnan 242	. . . . . . . 8 |- ((A e. B -> -. B e. suc A) <-> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3	1, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (A e. B -> -. B e. suc A))
4	3	adantr 389	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> -. B e. suc A))
5		ordtri1 2980	. . . . . . 7 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> -. B e. suc A))
6		ordsuc 3065	. . . . . . 7 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7	5, 6	sylanb 449	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> -. B e. suc A))
8	4, 7	sylibrd 204	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A (_ B))
9		ordelord 2970	. . . . 5 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
10	8, 9	sylan 448	. . . 4 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A (_ B))
11	10	exp31 376	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))))
12	11	pm2.43b 67	. 2 |- (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B)))
13	12	pm2.43b 67	1 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   (_ wss 2047  Ord word 2947  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  ordelsuc 3071  ordsucelsuc 3073  ordunel 3084  orduniorsuc 3087  tfindsg2 3163  oaordi 4180  oawordeulem 4188  oeworde 4220  inf3lem5 4617  r1ord 4655  r1val1 4658  rankval3 4681  indpi 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain