MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucss Structured version   Unicode version

Theorem ordsucss 4798
Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordsucss  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )

Proof of Theorem ordsucss
StepHypRef Expression
1 ordelord 4603 . . . . 5  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  Ord  A )
2 ordnbtwn 4672 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
3 imnan 412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  A )  <->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) )
42, 3sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  A ) )
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  A ) )
6 ordsuc 4794 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
7 ordtri1 4614 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A  C_  B  <->  -.  B  e.  suc  A ) )
86, 7sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A 
C_  B  <->  -.  B  e.  suc  A ) )
95, 8sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
101, 9sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  /\  Ord  B )  -> 
( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B
) )
1110exp31 588 . . 3  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) ) ) )
1211pm2.43b 48 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( Ord  B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) ) )
1312pm2.43b 48 1  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   Ord word 4580   suc csuc 4583
This theorem is referenced by:  ordelsuc  4800  ordsucelsuc  4802  orduniorsuc  4810  tfindsg2  4841  oaordi  6789  oawordeulem  6797  omeulem2  6826  oeworde  6836  oelimcl  6843  oeeui  6845  nnaordi  6861  nnawordex  6880  oaabs2  6888  omxpenlem  7209  inf3lem5  7587  cantnflt  7627  cantnflem1d  7644  cnfcom  7657  r1ordg  7704  rankr1ag  7728  cfslb2n  8148  cfsmolem  8150  fin23lem26  8205  isf32lem3  8235  ttukeylem7  8395  indpi  8784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587
  Copyright terms: Public domain W3C validator