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Theorem ordsucun 4805
Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsucun  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )

Proof of Theorem ordsucun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordun 4683 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  Ord  ( A  u.  B ) )
2 ordsuc 4794 . . . . 5  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  <->  Ord  suc  ( A  u.  B ) )
3 ordelon 4605 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  suc  ( A  u.  B )  /\  x  e.  suc  ( A  u.  B ) )  ->  x  e.  On )
43ex 424 . . . . 5  |-  ( Ord 
suc  ( A  u.  B )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
52, 4sylbi 188 . . . 4  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
7 ordsuc 4794 . . . 4  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
8 ordsuc 4794 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  Ord  suc  B )
9 ordun 4683 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  ->  Ord  ( suc  A  u.  suc  B ) )
10 ordelon 4605 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  /\  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) )  ->  x  e.  On )
1110ex 424 . . . . 5  |-  ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  (
x  e.  ( suc 
A  u.  suc  B
)  ->  x  e.  On ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  -> 
( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
137, 8, 12syl2anb 466 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
14 ordssun 4681 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B
) ) )
1514adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B ) ) )
16 ordsssuc 4668 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
171, 16sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
18 ordsssuc 4668 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  A )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
1918adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
20 ordsssuc 4668 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  B )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2120adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2219, 21orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
( x  C_  A  \/  x  C_  B )  <-> 
( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
2315, 17, 223bitr3d 275 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
24 elun 3488 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) )
2523, 24syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2625expcom 425 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  On  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) ) )
276, 13, 26pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2827eqrdv 2434 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    C_ wss 3320   Ord word 4580   Oncon0 4581   suc csuc 4583
This theorem is referenced by:  rankprb  7777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587
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