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Theorem ordsucun 4616
Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsucun  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )

Proof of Theorem ordsucun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordun 4494 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  Ord  ( A  u.  B ) )
2 ordsuc 4605 . . . . 5  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  <->  Ord  suc  ( A  u.  B ) )
3 ordelon 4416 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  suc  ( A  u.  B )  /\  x  e.  suc  ( A  u.  B ) )  ->  x  e.  On )
43ex 423 . . . . 5  |-  ( Ord 
suc  ( A  u.  B )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
52, 4sylbi 187 . . . 4  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
61, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
7 ordsuc 4605 . . . 4  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
8 ordsuc 4605 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  Ord  suc  B )
9 ordun 4494 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  ->  Ord  ( suc  A  u.  suc  B ) )
10 ordelon 4416 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  /\  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) )  ->  x  e.  On )
1110ex 423 . . . . 5  |-  ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  (
x  e.  ( suc 
A  u.  suc  B
)  ->  x  e.  On ) )
129, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  -> 
( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
137, 8, 12syl2anb 465 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
14 ordssun 4492 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B
) ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B ) ) )
16 ordsssuc 4479 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
171, 16sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
18 ordsssuc 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  A )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
1918adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
20 ordsssuc 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  B )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2120adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2219, 21orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
( x  C_  A  \/  x  C_  B )  <-> 
( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
2315, 17, 223bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
24 elun 3316 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) )
2523, 24syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2625expcom 424 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  On  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) ) )
276, 13, 26pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2827eqrdv 2281 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394
This theorem is referenced by:  rankprb  7523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398
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