MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Unicode version

Theorem ordtcld1 17223
Description: A downward ray  (  -oo ,  P ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3396 . . 3  |-  { x  e.  X  |  x R P }  C_  X
2 ordttopon.3 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
32ordttopon 17219 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
43adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )
)
5 toponuni 16955 . . . 4  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R
) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R ) )
71, 6syl5sseq 3364 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  C_ 
U. (ordTop `  R )
)
8 notrab 3586 . . . 4  |-  ( X 
\  { x  e.  X  |  x R P } )  =  { x  e.  X  |  -.  x R P }
96difeq1d 3432 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  =  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } ) )
108, 9syl5eqr 2458 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  ( U. (ordTop `  R )  \  { x  e.  X  |  x R P }
) )
112ordtopn1 17220 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
1210, 11eqeltrrd 2487 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) )
13 topontop 16954 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
14 eqid 2412 . . . 4  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
1514iscld 17054 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
164, 13, 153syl 19 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
177, 12, 16mpbir2and 889 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678    \ cdif 3285    C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   ` cfv 5421  ordTopcordt 13684   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   Clsdccld 17043
This theorem is referenced by:  ordtcld3  17225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-fin 7080  df-fi 7382  df-topgen 13630  df-ordt 13688  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cld 17046
  Copyright terms: Public domain W3C validator