MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Unicode version

Theorem ordtcld1 17027
Description: A downward ray  (  -oo ,  P ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3334 . . 3  |-  { x  e.  X  |  x R P }  C_  X
2 ordttopon.3 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
32ordttopon 17023 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )
)
5 toponuni 16765 . . . 4  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R
) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R ) )
71, 6syl5sseq 3302 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  C_ 
U. (ordTop `  R )
)
8 notrab 3521 . . . 4  |-  ( X 
\  { x  e.  X  |  x R P } )  =  { x  e.  X  |  -.  x R P }
96difeq1d 3369 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  =  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } ) )
108, 9syl5eqr 2404 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  ( U. (ordTop `  R )  \  { x  e.  X  |  x R P }
) )
112ordtopn1 17024 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
1210, 11eqeltrrd 2433 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) )
13 topontop 16764 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
14 eqid 2358 . . . 4  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
1514iscld 16864 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
164, 13, 153syl 18 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
177, 12, 16mpbir2and 888 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623    \ cdif 3225    C_ wss 3228   U.cuni 3906   class class class wbr 4102   dom cdm 4768   ` cfv 5334  ordTopcordt 13491   Topctop 16731  TopOnctopon 16732   Clsdccld 16853
This theorem is referenced by:  ordtcld3  17029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-fin 6952  df-fi 7252  df-topgen 13437  df-ordt 13495  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-cld 16856
  Copyright terms: Public domain W3C validator