MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtcld1 17292
Description: A downward ray  (  -oo ,  P ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3414 . . 3  |-  { x  e.  X  |  x R P }  C_  X
2 ordttopon.3 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
32ordttopon 17288 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
43adantr 453 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )
)
5 toponuni 17023 . . . 4  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R
) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R ) )
71, 6syl5sseq 3382 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  C_ 
U. (ordTop `  R )
)
8 notrab 3603 . . . 4  |-  ( X 
\  { x  e.  X  |  x R P } )  =  { x  e.  X  |  -.  x R P }
96difeq1d 3450 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  =  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } ) )
108, 9syl5eqr 2488 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  ( U. (ordTop `  R )  \  { x  e.  X  |  x R P }
) )
112ordtopn1 17289 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
1210, 11eqeltrrd 2517 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) )
13 topontop 17022 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
14 eqid 2442 . . . 4  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
1514iscld 17122 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
164, 13, 153syl 19 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
177, 12, 16mpbir2and 890 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {crab 2715    \ cdif 3303    C_ wss 3306   U.cuni 4039   class class class wbr 4237   dom cdm 4907   ` cfv 5483  ordTopcordt 13752   Topctop 16989  TopOnctopon 16990   Clsdccld 17111
This theorem is referenced by:  ordtcld3  17294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-fin 7142  df-fi 7445  df-topgen 13698  df-ordt 13756  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cld 17114
  Copyright terms: Public domain W3C validator