MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld2 Structured version   Unicode version

Theorem ordtcld2 17262
Description: An upward ray  [ P ,  +oo ) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  P R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3428 . . 3  |-  { x  e.  X  |  P R x }  C_  X
2 ordttopon.3 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
32ordttopon 17257 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
43adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )
)
5 toponuni 16992 . . . 4  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R
) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R ) )
71, 6syl5sseq 3396 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  P R x }  C_ 
U. (ordTop `  R )
)
8 notrab 3618 . . . 4  |-  ( X 
\  { x  e.  X  |  P R x } )  =  { x  e.  X  |  -.  P R x }
96difeq1d 3464 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  {
x  e.  X  |  P R x } )  =  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  P R x } ) )
108, 9syl5eqr 2482 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  ( U. (ordTop `  R )  \  { x  e.  X  |  P R x }
) )
112ordtopn2 17259 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  (ordTop `  R ) )
1210, 11eqeltrrd 2511 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  P R x } )  e.  (ordTop `  R
) )
13 topontop 16991 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
14 eqid 2436 . . . 4  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
1514iscld 17091 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  P R x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  P R x }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  P R x } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
164, 13, 153syl 19 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  P R x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  P R x }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  P R x } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
177, 12, 16mpbir2and 889 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  P R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454  ordTopcordt 13721   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080
This theorem is referenced by:  ordtcld3  17263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-topgen 13667  df-ordt 13725  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083
  Copyright terms: Public domain W3C validator