MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Unicode version

Theorem ordtcld3 16929
Description: An closed interval  [ A ,  B ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 3440 . 2  |-  ( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  { x  e.  X  |  x R B } )  =  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }
2 ordttopon.3 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
32ordtcld2 16928 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
433adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
52ordtcld1 16927 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
653adant2 974 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
7 incld 16780 . . 3  |-  ( ( { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) )  /\  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )  -> 
( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  {
x  e.  X  |  x R B } )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
84, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  {
x  e.  X  |  x R B } )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
91, 8syl5eqelr 2368 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    i^i cin 3151   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  ordTopcordt 13398   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  iccordt  16944  ordtt1  17107
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator